Даны натуральные числа x₁, ..., x_n. Докажите, что число      можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

   Решение

Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 105]      

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.

Прислать комментарий

Решение

В волейбольном турнире с участием 73 команд каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В конце турнира все команды разделили на две непустые группы так, что каждая команда первой группы одержала ровно n побед, а каждая команда второй группы – ровно m побед. Могло ли оказаться, что  m ≠ n?

Прислать комментарий

Решение

Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске?

Прислать комментарий

Решение

Клетки доски 2001×2001 раскрашены в шахматном порядке в чёрный и белый цвета так, что угловые клетки чёрные. Для каждой пары разноцветных клеток рисуется вектор, идущий из центра чёрной клетки в центр белой. Докажите, что сумма нарисованных векторов равна 0.

Прислать комментарий

Решение

Существует ли такое положительное число α, что при всех действительных x верно неравенство   |cos x| + |cos αx| > sin x + sin αx?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 105]