В треугольнике $ABC$ точки $M$, $N$ – середины сторон $AB$, $AC$ соответственно; серединный перпендикуляр к биссектрисе $AL$ пересекает биссектрисы углов $B$ и $C$ в точках $P$, $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PM$ и $QN$ пересекаются на касательной к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

Найдите наименьшее натуральное n, для которого число nⁿ не является делителем числа 2008!.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC высоты или их продолжения пересекаются в точке H, а R – радиус его описанной окружности.
Докажите, что если  ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C,  то  AH + BH ≥ 2R.

Прислать комментарий

Решение

  а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделите молоко на две равные части.
  б) Решите общую задачу: при каких a и b можно разделить пополам  a + b  литров молока, пользуясь лишь сосудами в a литров, b литров и  a + b  литров?
За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить второй сосуд до верха.

Прислать комментарий

Решение

Обозначим через  S(n, k)  количество не делящихся на k коэффициентов разложения многочлена  (x + 1)ⁿ  по степеням x.
  а) Найдите  S(2012, 3).
  б) Докажите, что  S(2012²⁰¹¹, 2011)  делится на 2012.

Прислать комментарий

Решение

Команда из n школьников участвует в игре: на каждого из них надевают шапку одного из k заранее известных цветов, а затем по свистку все школьники одновременно выбирают себе по одному шарфу. Команда получает столько очков, у скольких её участников цвет шапки совпал с цветом шарфа (шарфов и шапок любого цвета имеется достаточное количество; во время игры каждый участник не видит своей шапки, зато видит шапки всех остальных, но не имеет права выдавать до свистка никакую информацию). Какое наибольшее число очков команда, заранее наметив план действий каждого её члена, может гарантированно получить:
  а) при  n = k = 2;
  б) при произвольных фиксированных n и k?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]