Найдите объём правильной треугольной призмы, все рёбра которой равны 1.

   Решение

Куб n×n×n сложен из единичных кубиков. Дана замкнутая несамопересекающаяся ломаная, каждое звено которой соединяет центры двух соседних (имеющих общую грань) кубиков. Назовём отмёченными грани кубиков, пересекаемые данной ломаной. Докажите, что рёбра кубиков можно окрасить в два цвета так, чтобы каждая отмеченная грань имела нечётное число, а всякая неотмеченная грань – чётное число сторон каждого цвета.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

Окружность k проходит через вершины B и C треугольника ABC  (AB > AC)  и пересекает продолжения сторон AB и AC за точки B и C в точках P и Q соответственно. Пусть AA₁ – высота треугольника ABC. Известно, что  A₁P = A₁Q.  Докажите, что угол PA₁Q в два раза больше угла A треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности Ω₁ и Ω₂ с центрами O₁ и O₂ касаются внешним образом в точке O. Точки X и Y лежат на Ω₁ и Ω₂ соответственно так, что лучи O₁X и O₂Y одинаково направлены. Из точки X проведены касательные к Ω₂, а из точки Y – к Ω₁. Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку O.

Прислать комментарий

Решение

Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник. Докажите, что  AC > BD  тогда и только тогда, когда  (AD – BC)(AB – CD) > 0.

Прислать комментарий

Решение

Пусть AP и BQ – высоты данного остроугольного треугольника ABC. Постройте циркулем и линейкой на стороне AB точку M так, чтобы
∠AQM = ∠BPM.

Прислать комментарий

Решение

Пусть ABCD – трапеция, в которой углы A и B прямые,  AB = AD,  CD = BC + AD,  BC < AD.
Докажите, что угол ADC в два раза больше угла ABE, где E – середина AD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]