Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 81]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В окружности $\Omega $ хорды $A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$ пересекаются в точке $O$.
Пусть $B_i$ – вторая точка пересечения окружности $\Omega$ с окружностью, построенной на отрезке $OA_i$ как на диаметре.
Докажите, что хорды $B_1B_2$, $B_3B_4$, $B_5B_6$ пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Можно ли на плоскости из каждой точки с рациональными координатами выпустить луч так, чтобы никакие два луча не имели общей точки и при этом среди прямых, содержащих эти лучи, никакие две не были бы параллельны?
Окружность, вписанная в угол с вершиной O касается
его сторон в точках A и B , K – произвольная точка
на меньшей из двух дуг AB этой окружности. На прямой OB
взята точка L такая, что прямые OA и KL параллельны.
Пусть M – точка пересечения окружности , описанной
около треугольника KLB , с прямой AK , отличная от K .
Докажите, что прямая OM касается окружности .
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a5 делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Четырёхугольник ABCD описан около окружности ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность ω1 касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD; окружность ω2 касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K и L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности ω лежат на одной прямой.
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 81]
Все авторы
>>
Кожевников П.А. 
