Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 79]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число 1² + 2² + 2²). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.
Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC, AM = a, BM = b, CM = c, c < a, c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
На плоскости отметили 30 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и провели семь красных прямых, не проходящих через отмеченные точки. Могло ли случиться, что каждый отрезок, соединяющий какие-то две отмеченные точки, пересекается хоть с одной красной прямой?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $T$. К ним проведена общая внешняя касательная, касающаяся первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Общая касательная к окружностям, проведённая в точке $T$, пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Пусть $AC$ – диаметр первой окружности. Докажите, что отрезки $CM$ и $AO_2$ перпендикулярны.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
n бумажных кругов радиуса 1 уложены на плоскость таким образом, что их
границы проходят через одну точку, причём эта точка находится внутри
области, покрытой кругами. Эта область представляет собой многоугольник с криволинейными сторонами. Найдите его периметр.
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 79]
Все авторы
>>
Кожевников П.А. 
