Страница: 1 [Всего задач: 4]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Дано натуральное число n>1. Что больше: количество способов разрезать клетчатый квадрат 3n×3n на клетчатые прямоугольники 1×3 или количество способов разрезать клетчатый квадрат 2n×2n на клетчатые прямоугольники 1×2?
Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.
Машина ездит по кольцевой трассе по часовой стрелке. В полдень в две разных точки трассы встали два наблюдателя. К какому-то моменту машина проехала возле каждого наблюдателя не менее 30 раз. Первый наблюдатель заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду быстрее, чем предыдущий. Второй заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду медленнее, чем предыдущий. Докажите, что прошло не менее полутора часов.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Преподаватель выставил оценки по шкале от 0 до 100. В учебной части могут менять верхнюю границу шкалы на любое другое натуральное число, пересчитывая оценки пропорционально и округляя до целых. Нецелое число при округлении меняется до ближайшего целого; если дробная часть равна 0,5, направление округления учебная часть может выбирать любое, отдельно для каждой оценки. (Например, оценка 37 по шкале 100 после пересчета в шкалу 40 перейдёт в 37·40/100 = 14,8 и будет округлена до 15.)
Студенты Петя и Вася получили оценки a и b, отличные от 0 и 100. Докажите, что учебная часть может сделать несколько пересчётов так, чтобы у Пети стала оценка b, а у Васи – оценка a (пересчитываются одновременно обе оценки).
Страница: 1 [Всего задач: 4]
Все авторы
>>
Брагин В. 
