Страница: 1 [Всего задач: 4]      

Петя и Вася играют на отрезке $[0; 1]$, в котором отмечены точки $0$ и $1$. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок отмечает ранее не отмеченную точку отрезка. Если после хода очередного игрока нашлись три последовательных отрезка между соседними отмеченными точками, из которых можно сложить треугольник, то сделавший такой ход игрок объявляется победителем, и игра заканчивается. Получится ли у Пети гарантированно победить?

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ точки $M$, $N$ – середины сторон $AB$, $AC$ соответственно; серединный перпендикуляр к биссектрисе $AL$ пересекает биссектрисы углов $B$ и $C$ в точках $P$, $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PM$ и $QN$ пересекаются на касательной к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$.

Прислать комментарий

Решение

Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ и при $n > 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$, что среди чисел $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023} \leqslant 100\,000$.

Прислать комментарий

Решение

Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Дана бесконечная последовательность $(a_n)$, состоящая из натуральных чисел. Известно, что $a_1=a_2=1$ и при $n > 2$ число $a_n$ — минимальное натуральное число такое, что среди чисел $a_1,a_2,\ldots,a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_n\leqslant \frac{n^2+7}{8}$ для любого $n$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]