Версия для печати
Убрать все задачи

---

Расстоянием между числами  a₁a₂a₃a₄a₅  и  b₁b₂b₃b₄b₅  назовём максимальное i, для которого  a_i ≠ b_i.  Все пятизначные числа выписаны друг за другом в некотором порядке. Какова при этом минимально возможная сумма расстояний между соседними числами?

   Решение

---

Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны a, b, c и d. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)

   Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60619  (#03.167)  [Теорема Лежандра]

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Приближения чисел ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Докажите, что если     то ^p/_q – подходящая дробь к числу α.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60620  (#03.168)  [Теорема Валена]

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Приближения чисел ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Докажите, что если  ^P_n/_Qn  (n ≥ 1)  – подходящая дробь к числу α, то имеет место по крайней мере одно из неравенств     или     Получите отсюда теорему Валена: для любого α найдётся бесконечно много таких дробей ^p/_q, что  |α – ^p/_q| < ¹/_2q².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60621  (#03.169)

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Приближения чисел ] [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Докажите, что для любых целых чисел p и q  (q ≠ 0),  справедливо неравенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60622  (#03.170)

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Алгоритм Евклида ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что при  k ≥ 1  выполняется равенство:   = [a^F_k; a^F_k–1, ..., a^F₀],   где {F_k} – последовательность чисел Фибоначчи.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60623  (#03.171)

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

а) Докажите, что положительный корень квадратного уравнения  bx² – abx – a = 0,  где a и b – различные натуральные числа, разлагается в чисто периодическую цепную дробь с длиной периода, равной 2.
б) Верно ли обратное утверждение?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями