Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах AB и CD квадрата ABCD взяты точки K и M соответственно, а на диагонали AC – точка L так, что ML = KL. Пусть P – точка пересечения отрезков MK и BD. Найдите угол KPL.

   Решение

---

Пусть $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$; $R$, $r$ – их радиусы; $D$ – точка касания вписанной окружности со стороной $BC$; $N$ – произвольная точка на отрезке $ID$. Перпендикуляр к $ID$ в точке $N$ пересекает описанную окружность $ABC$ в точках $X$ и $Y$. Пусть $O_1$ – центр описанной окружности $XIY$. Найдите произведение $OO_1\cdot IN$.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110120  (#03.4.11.1)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Найдите все простые p, для каждого из которых существуют такие натуральные x и y, что  p^x = y³ + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108208  (#03.4.11.2)

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

На диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD выбрана точка K, для которой  KD = DC, ∠BAC = ½ KDC,  ∠DAC = ½ ∠KBC.
Докажите, что  ∠KDA = ∠BCA  или  ∠KDA = ∠KBA.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110122  (#03.4.11.3)

Темы:   [ Монотонность, ограниченность ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Функции  f(x) – x  и  f(x²) – x⁶  определены при всех положительных x и возрастают.
Докажите, что функция     также возрастает при всех положительных x.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110807  (#03.4.11.4)

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Метод усреднения ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

На плоскости даны точки A₁ , A₂ , A_n и точки B₁ , B₂ , B_n . Докажите, что точки B_i можно перенумеровать так, что для всех i j угол между векторами и – острый или прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110123  (#03.4.11.5)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Квадратные трёхчлены  P(x) = x² + ax + b  и  Q(x) = x² + cx + d  таковы, что уравнение  P(Q(x)) = Q(P(x))  не имеет действительных корней.
Докажите, что  b ≠ d .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями