Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что в правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями больше чем 60°.

   Решение

---

На плоскости расположено 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, из них 10 синих и 10 красных.
Докажите, что можно провести прямую, по каждую сторону которой лежит пять синих и пять красных точек.

   Решение

---

  а) Скупой рыцарь хранит золотые монеты в шести сундуках. Однажды, пересчитывая их, он заметил, что если открыть любые два сундука, то можно разложить лежащие в них монеты поровну в эти два сундука. Еще он заметил, что если открыть любые 3, 4 или 5 сундуков, то тоже можно переложить лежащие в них монеты таким образом, что во всех открытых сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился стук в дверь, и старый скряга так и не узнал, можно ли разложить все монеты поровну по всем шести сундукам. Можно ли, не заглядывая в заветные сундуки, дать точный ответ на этот вопрос?
  б) А если сундуков было восемь, а Скупой рыцарь мог разложить поровну монеты, лежащие в любых 2, 3, 4, 5, 6 или 7 сундуках?

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 83]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61105  (#07.041)

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ] [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Известно, что  sin α = ³/₅.  Докажите, что  sin 25α  имеет вид  ⁿ/_5²⁵,  где n – целое, не делящееся на 5.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61106  (#07.042)

Темы:   [ Многочлены Чебышева ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Тригонометрические уравнения ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Последовательность многочленов  P₀(x) = 1,  P₁(x) = x,  P₂(x) = x² – 1, ...  задается условием  P_n+1(x) = xP_n(x) – P_n–1(x).
Докажите, что уравнение  P₁₀₀(x) = 0  имеет 100 различных действительных корней на отрезке  [–2, 2].  Что это за корни?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61107  (#07.043)

Тема:   [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите равенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61108  (#07.044)

Темы:   [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Известно, что  z + z^–1 = 2 cos α.
  а) Докажите, что  zⁿ + z^–n = 2 cos nα.
  б) Как выражается  zⁿ + z^–n  через  y = z + z^–1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61109  (#07.045)

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ] [ Многочлены Чебышева ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

При подстановке в многочлены Чебышёва (см. задачу 61099) числа  x = cos α  получаются значения

 

Что будет, если в многочлены Чебышёва подставить число  x = sin α?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 83]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями