Есть доска 1×1000, вначале пустая, и куча из n фишек. Двое ходят по очереди. Первый своим ходом "выставляет" на доску не более 17 фишек по одной на любое свободное поле (он может взять все 17 из кучи, а может часть – из кучи, а часть – переставить на доске). Второй снимает с доски любую серию фишек (серия – это несколько фишек, стоящих подряд, то есть без свободных полей между ними) и кладёт их обратно в кучу. Первый выигрывает, если ему удастся выставить все фишки в ряд без пробелов.
  а) Докажите, что при  n = 98  первый всегда может выиграть.
  б) При каком наибольшем n первый всегда может выиграть?

   Решение

Даны окружность и точка A. Найдите геометрическое место середин хорд, высекаемых данной окружностью на всевозможных прямых, проходящих через точку A.

   Решение

Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Найдите диагональ AC, если BD = 2, AB = 1, ABD : DBC = 4 : 3.

   Решение

Дано натуральное число  n ≥ 2.  Рассмотрим все такие покраски клеток доски n×n в k цветов, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет и все k цветов встречаются. При каком наименьшем k в любой такой покраске найдутся четыре окрашенных в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов?

   Решение

Сторона AD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Найдите сторону BC, если AD = 6, BD = 3, BAC : CAD = 1 : 3.

   Решение

Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через середину диагонали BD и пересекает сторону CD в точке K. Найдите отношение KD : CD, если BD = 2AC.

   Решение

Бумажный квадрат был проколот в 1965 точках. Из точек-проколов и вершин квадрата никакие три не лежат на одной прямой. Потом сделали несколько прямолинейных не пересекающихся между собой разрезов, каждый из которых начинался и кончался только в проколотых точках или вершинах квадрата. Оказалось, что квадрат разрезан на треугольники, внутри которых проколов нет. Сколько было сделано разрезов и сколько получилось треугольников?

   Решение

С помощью циркуля и линейки параллельно данной прямой проведите прямую, на которой две данные окружности высекали бы хорды, сумма (или разность) длин которых имела бы заданную величину a.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

Имеется 11 мешков с монетами и весы с двумя чашками и стрелкой, которые показывают, на какой чашке груз тяжелее и на сколько именно. Известно, что в одном мешке все монеты фальшивые, а в остальных – все монеты настоящие. Все настоящие монеты имеют одинаковый вес, а все фальшивые – также одинаковый, но другой вес. За какое наименьшее число взвешиваний можно определить, в каком мешке лежат фальшивые монеты?

Прислать комментарий

Решение

На лист клетчатой бумаги размером n×n клеток кладутся чёрные и белые кубики, причём каждый кубик занимает ровно одну клетку. Первый слой кубиков положили произвольно, а затем вспомнили, что каждый чёрный кубик должен граничить с чётным числом белых, а каждый белый — с нечётным числом чёрных. Кубики во второй слой положили так, чтобы для всех кубиков первого слоя выполнялось это условие. Если для всех кубиков второго слоя это условие уже выполняется, то больше кубиков не кладут, если же нет, то кладут третий слой так, чтобы чтобы для всех кубиков второго слоя выполнялось это условие, и так далее. Существует ли такое расположение кубиков первого слоя, что этот процесс никогда не кончится?

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольном бильярде размером p×2q, где p и q – нечётные числа, сделаны лузы в каждом углу и в середине каждой стороны длины 2q. Из угла выпущен шарик под углом 45° к стороне. Доказать, что шарик обязательно попадёт в одну из средних луз.

Прислать комментарий

Решение

Все целые числа от 1 до 2n выписаны в строчку. Затем к каждому числу прибавили номер того места, на котором оно стоит.
Доказать, что среди полученных сумм найдутся хотя бы две, дающие при делении на 2n одинаковый остаток.

Прислать комментарий

Решение

В ящике лежат два ящика поменьше, в каждом из них ещё по два ящика и т.д. n раз. В каждом из 2ⁿ маленьких ящиков лежит по монете, причём одни вверх гербом, а остальные – вверх решкой. За один ход разрешается перевернуть один любой ящик вместе со всем, что в нём лежит. Доказать, что не больше, чем за n ходов можно расположить ящики так, что число монет, лежащих вверх гербом, будет равно числу монет, лежащих вверх решкой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]