Каталог по источникам

Выбрано 7 задач

В классе 30 учеников. Сколькими способами они могут пересесть так, чтобы ни один не сел на своё место?

В некотором королевстве было 32 рыцаря. Некоторые из них были вассалами других (вассал может иметь только одного сюзерена, причём сюзерен всегда богаче своего вассала). Рыцарь, имевший не менее четырёх вассалов, носил титул барона. Какое наибольшее число баронов могло быть при этих условиях?
(В королевстве действовал закон: "вассал моего вассала – не мой вассал".)

Решение

Равнобедренные треугольники ABC (AB = BC) и A₁B₁C₁ (A₁B₁ = B₁C₁) равны. Вершины A₁, B₁ и C₁ расположены соответственно на продолжениях стороны BC за точку C, стороны BA за точку A, стороны AC за точку C, причём B₁C₁ ⊥ BC. Найдите угол B.

Решение

Сообщение, зашифрованное в пункте А шифром простой замены в алфавите из букв русского языка и знака пробела (–) между словами, передается в пункт Б отрезками по 12 символов. При передаче очередного отрезка сначала передаются символы, стоящие на чётных местах в порядке возрастания их номеров, начиная со второго, а затем – символы, стоящие на нечётных местах (также в порядке возрастания их номеров), начиная с первого. В пункте Б полученное шифрованное сообщение дополнительно шифруется с помощью некоторого другого шифра простой замены в том же алфавите, а затем таким же образом, как и из пункта А, передается в пункт В. По перехваченным в пункте В отрезкам:
СО–ГЖТПНБЛЖО
РСТКДКСПХЕУБ
–Е–ПФПУБ–ЮОБ
СП–ЕОКЖУУЛЖЛ
СМЦХБЭКГОЩПЫ
УЛКЛ–ИКНТЛЖГ
восстановите исходное сообщение, зная, что в одном из переданных отрезков зашифровано слово КРИПТОГРАФИЯ.

Решение

На продолжении биссектрисы AL треугольника ABC за точку A взята такая точка D, что AD = 10 и ∠BDC = ∠BAL = 60°.
Найдите площадь треугольника ABC. Какова наименьшая площадь треугольника BDC при данных условиях?

Решение

Площадь треугольника ABC равна 9. На продолжении его биссектрисы BL за точку B взята такая точка D, что ∠ADC = ∠ABL = 45°.
Найдите длину отрезка BD. Какова наименьшая площадь треугольника ADC при данных условиях?

Решение

Пусть точки A^*, B^*, C^*, D^* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:
а) ${\frac{AC}{AD}}$ : ${\frac{BC}{BD}}$ = ${\frac{A^*C^*}{A^*D^*}}$ : ${\frac{B^*C^*}{B^*D^*}}$ ;
б) $\angle$ (DA, AC) - $\angle$ (DB, BC) = $\angle$ (D^*B^*, B^*C^*) - $\angle$ (D^*A^*, A^*C^*).

Решение

Задача 57322

Задача 57323

Задача 57325