Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
47 турнир (2025/2026 год)
>>
осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Фильтр
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 5]
В ряд слева направо стоят коробки с номерами 1, 2, 3, … В них по очереди кладут числа 1, 2, …, 2025. В каждой коробке каждые два числа должны быть взаимно просты. Очередное число кладётся в самую левую из разрешённых коробок. Все числа разложили.
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ равны стороны $AE$, $BC$ и $DE$, а также равны углы $A$, $B$, $C$ и $D$. Докажите, что точки $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$ лежат на одной окружности.
По кругу стоят 30 мальчиков и 30 девочек. Докажите, что можно выбрать 10 мальчиков и 10 девочек так, чтобы никакие двое из выбранных не стояли рядом.
Петя и Вася подошли к доске, и Петя нарисовал на ней несколько окружностей с различными центрами, покрасив каждый центр красным или синим цветом. Оказалось, что если какие-то две окружности касаются друг друга, то обязательно внешним образом, причём их центры — разного цвета.
Всегда ли Вася может заменить каждую окружность на новую с тем же центром так, чтобы выполнялось условие: если касались друг друга две старые окружности, то соответствующие им новые тоже касаются, но уже внутренним образом?
Таблица $n\times n$ заполнена целыми числами от 0 до $n$ так, что и в каждой строке, и в каждом столбце все числа различны. Назовём клетку таблицы удачной, если в объединении её строки и её столбца встречаются все числа от 0 до $n$.
а) Каково наибольшее возможное количество удачных клеток?
б) Докажите, что количество удачных клеток чётно.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 67587 (#1) |
|
|
а) Сколько чисел попало во вторую коробку?
б) Сколько чисел попало в третью коробку?
|
|
Решение |
Задача 67588 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67589 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67590 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67591 (#5) |
|
|
а) Каково наибольшее возможное количество удачных клеток?
б) Докажите, что количество удачных клеток чётно.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
