В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное количество монет достоинством в n₁, n₂, n₃, ... копеек, где
n₁ < n < ₂ < n₃ < ...  – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число N, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в n₁, n₂, ..., n_N копеек.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

Докажите, что точка X лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда = t + (1 - t) для некоторого t и любой точки O.

Прислать комментарий

Решение

Дано несколько точек и для некоторых пар (A, B) этих точек взяты векторы , причем в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна  .

Прислать комментарий

Решение

Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим началом O так, что величина + остается постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

Через точку M пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что (1/) + (1/) + (1/) = 0 (отрезки MA₁, MB₁ и MC₁ считаются ориентированными).

Прислать комментарий

Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Отрезки BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁, AA₁ и BB₁ пересекаются в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что если + + = , то AB₁ : B₁C = CA₁ : A₁B = BC₁ : C₁A.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]