Версия для печати
Убрать все задачи

---

На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее  1/5 и не более  4/5 площади K.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109577  (#94.4.11.6)

Тема:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Функция f(x) определена и удовлетворяет соотношению

(x-1)f()-f(x)=x
при всех x1 . Найдите все такие функции.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109578  (#94.4.11.7)

Темы:   [ Правильная пирамида ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

На боковых ребрах SA , SB и SC правильной треугольной пирамиды SABC взяты соответственно точки A₁ , B₁ и C₁ так, что плоскости A₁B₁C₁ и ABC параллельны. Пусть O – центр сферы, проходящей через точки S , A , B и C₁ . Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости A₁B₁C .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109579  (#94.4.11.8)

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Индукция в геометрии ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Обход графов ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Внутри круга расположены точки A₁, A₂, ..., A_n, а на его границе – точки B₁, B₂, ..., B_n так, что отрезки A₁B₁, A₂B₂, ..., A_nB_n не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки A_i в точку A_j, если отрезок A_iA_j не пересекается ни с одним из отрезков A_kB_k,  k ≠ i, j.
Докажите, что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из каждой точки A_p в любую точку A_q.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями