Версия для печати
Убрать все задачи

---

В клетках таблицы 3×3 расставлены числа так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если известно, что оно нечётно?

---

Придумайте десятизначное число, в записи которого нет нулей, такое что при прибавлении к нему произведения его цифр получается число с таким же произведением цифр.

---

Разрежьте изображённую на рисунке трапецию на три части и сложите из них квадрат.

---

Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в 12.00 повышается или понижается на 17% (курс не округляется).
Может ли курс акций дважды принять одно и то же значение?

---

Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, а её сумма – степень двойки.
Докажите, что количество членов прогрессии тоже степень двойки.

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 7526]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 53397

Темы:   [ Периметр треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Медиана треугольника делит пополам его периметр. Докажите, что треугольник равнобедренный.

Решение

Пусть стороны треугольника равны a, b и c, а медиана проведена к стороне, равной a. Тогда по условию  ^a/₂ + b = ^a/₂ + c,  откуда  b = c.

Прислать комментарий

---

Задача 53398

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Медиана AM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе BK. Найдите AB, если  BC = 12.

Подсказка

Пусть P – точка пересечения BK и AM. В треугольнике ABM биссектриса BP является высотой.

Решение

Пусть P – точка пересечения отрезков BK и AM. В треугольнике ABM биссектриса BP является высотой, поэтому треугольник ABM равнобедренный. Следовательно,  AB = BM = ½ BC = 6.

Ответ

6.

Прислать комментарий

---

Задача 53404

Темы:   [ Равные треугольники. Признаки равенства ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

Решение

Пусть в прямоугольных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ с гипотенузами AB и A₁B₁ равны катеты AC и A₁C₁ и острые углы B и B₁. Тогда
∠C = 90° – ∠B = 90° – ∠B₁ = ∠C₁.  Следовательно, треугольник ABC равен треугольнику A₁B₁C₁ по стороне и двум прилежащим углам.

Прислать комментарий

---

Задача 53417

Темы:   [ Равные треугольники. Признаки равенства ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Докажите, что  AC || BD  и  AD || BC.

Подсказка

Докажите, что  ∠OAC = ∠OBD.

Решение

Треугольники AOC и BOD равны по двум сторонам и углу между ними  (AO = BO  и  CO = DO  по условию, а углы AOC и BOD равны как вертикальные), поэтому  ∠OAC = ∠OBD.  Прямая AB пересекает прямые AC и BD, причём накрест лежащие углы OAC и OBD равны. Следовательно, прямые AC и BD параллельны. Аналогично,  AD || BC.

Прислать комментарий

---

Задача 53420

Темы:   [ Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Через точку, не лежащую на данной прямой, проведите с помощью циркуля и линейки прямую, параллельную данной.

Подсказка

Воспользуйтесь построением угла, равного данному.

Решение

  Пусть M – данная точка, расположенная вне данной прямой l. Возьмём на прямой l произвольные точки A и B. Отложим от луча MA в полуплоскости, не содержащей точку B, угол AMN, равный углу MAB. По признаку параллельности прямых прямая MN параллельна данной прямой l.
  Единственность проведённой прямой следует из аксиомы параллельных.

Прислать комментарий

---

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 7526]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями