Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 [Всего задач: 100]

Задача 61524 (#11.097)

Тема:

[

Многочлены Гаусса

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Найдите сумму S_l(x) = g_0,l(x) – g_1,l–1(x) + g_2,l–2(x) – ... + (–1)^lg_l,0(x).
Определение многочленов Гаусса g_k,l(x) можно найти в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61525 (#11.098)

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
Темы:	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Обозначим через P_k,l(n) количество разбиений числа n на не более чем k слагаемых, каждое из которых не превосходит l.
Докажите равенства:
а) P_k,l(n) – P_k,l–1(n) = P_k–1,l(n – l);
б) P_k,l(n) – P_k–1,l(n) = P_k,l–1(n – k);
в) P_k,l(n) = P_l,k(n);
г) P_k,l(n) = P_k,l(kl – n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61526 (#11.099)

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Многочлены Гаусса	]
	[	Производящие функции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Пусть f_k,l(x) – производящая функция последовательности P_k,l(n) из задачи 61525: f_k,l(x) = P_k,l(0) + xP_k,l(1) + ... + x^klP_k,l(kl).

а) Докажите равенства: f_k,l(x) = f_k–1,l(x) + x^kf_k,l–1(x) = f_k,l–1(x) + x^lf_k–1,l(x).

б) Докажите, что функции f_k,l(x) совпадают с многочленами Гаусса g_k,l(x) (определение многочленов Гаусса смотри здесь).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61527 (#11.100)

Темы:	[	Многочлены Гаусса	]
Темы:	[	Раскладки и разбиения	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что при любых k и l многочлен g_k,l(x) является возвратным, то есть
(Определение многочленов Гаусса см. здесь.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61528 (#11.101)

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что
Числа P_kl(n) определены в задаче 61525.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 [Всего задач: 100]