Разрежьте изображённую на левом рисунке фигуру на две одинаковые части.

   Решение

В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ никакие четыре вершины не лежат на одной окружности, а диагонали $A_1A_4$, $A_2A_5$ и $A_3A_6$ пересекаются в одной точке. Обозначим через $l_i$ радикальную ось окружностей $A_iA_{i+1}A_{i-2}$ и $A_iA_{i-1}A_{i+2}$ (мы считаем, что точки $A_i$ и $A_{i+6}$ совпадают). Докажите, что прямые $l_i$, $i=1,\ldots,6$, пересекаются в одной точке.

   Решение

Докажите, что если a и b – целые числа и  b ≠ 0,  то существует единственная пара чисел q и r, для которой  a = bq + r,  0 ≤ r < |b|.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Для некоторых натуральных чисел a, b, c и d выполняются равенства  ^a/_c = ^b/_d = ^ab+1/_cd+1.  Докажите, что  a = c  и  b = d.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC угол C – прямой. На стороне AC нашлась такая точка D, а на отрезке BD – такая точка K, что  ∠B = ∠KAD = ∠AKD.
Докажите, что  BK = 2DC.

Прислать комментарий

Решение

Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел a и b ( a>b ) хотя бы одно из чисел a+b или a-b тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинаковыми.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]