Версия для печати
Убрать все задачи
Даны уравнения ax² + bx + c = 0 (1) и – ax² + bx + c (2). Доказать, что если x1 и x2 – соответственно какие-либо корни уравнений (1) и (2), то найдётся такой корень x3 уравнения ½ ax² + bx + c, что либо x1 ≤ x3 ≤ x2, либо x1 ≥ x3 ≥ x2.
Решение
Игральная доска имеет форму ромба с углом 60°. Каждая сторона ромба
разделена на девять частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные
сторонам и малой диагонали ромба, разбивающие доску на треугольные клетки.
Если на некоторой клетке поставлена фишка, проведём через эту клетку три
прямые, параллельные сторонам и малой диагонали ромба. Клетки, которые они
пересекут, будут считаться побитыми фишкой. Каким наименьшим числом фишек можно
побить все клетки доски?
Решение
Пусть
D и
E — середины сторон
AB и
BC
остроугольного треугольника
ABC, а точка
M лежит на стороне
AC.
Докажите, что если
MD <
AD, то
ME >
EC.
Решение
За круглым вращающимся столом, на котором стоят 8 белых и
7 чёрных чашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белых и 7 чёрных
колпачков. Каждый гном берёт себе чашку, цвет которой совпадает с
цветом его колпачка, и ставит напротив себя, после этого стол
поворачивается случайным образом. Какое наибольшее число совпадений
цвета чашки и колпачка можно гарантировать после поворота стола (гномы
сами выбирают, как сесть, но не знают, как повернётся стол)?
Решение
На стороне AC треугольника ABC произвольно выбрана точка D. Касательная, проведённая в точке D к описанной окружности треугольника BDC, пересекает сторону AB в точке C1; аналогично определяется точка A1. Докажите, что A1C1 || AC.
Решение
Все источники
>>
Кружки, факультативы, спецкурсы
>>
ВМШ 57 школы
>>
7 класс
>>
2001/02
>>
1. Простые вводные задачи
