Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 56949

Тема:

[

Подерный (педальный) треугольник

]

Сложность: 3
Классы: 9

Пусть A₁, B₁ и C₁ - основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC, CA и AB. Треугольник A₁B₁C₁ называют подерным (или педальным) треугольником точки P относительно треугольника ABC.
Пусть A₁B₁C₁ — подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC. Докажите, что B₁C₁ = BC^.AP/2R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56950

Тема:

[

Подерный (педальный) треугольник

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A₂, B₂ и C₂; A₁B₁C₁ — подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC (см. задачу 5.99). Докажите, что $\triangle$ A₁B₁C₁ $\sim$ $\triangle$ A₂B₂C₂.

Прислать комментарий Решение

Задача 56951

Тема:

[

Подерный (педальный) треугольник

]

Сложность: 5
Классы: 9

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P. Опустив из нее перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на стороны, получим $\triangle$ A₁B₁C₁. Проделав для него ту же операцию, получим $\triangle$ A₂B₂C₂, а затем $\triangle$ A₃B₃C₃. Докажите, что $\triangle$ A₃B₃C₃ $\sim$ $\triangle$ ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56952

Тема:

[

Подерный (педальный) треугольник

]

Сложность: 6
Классы: 9

Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R с центром O. Докажите, что площадь подерного треугольника точки P относительно треугольника ABC (см. задачу 5.99) равна ${\frac{1}{4}}$ $\left\vert\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right.$ 1 - ${\frac{d^2}{R^2}}$ $\left.\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right\vert$ S_ABC, где d = PO.

Прислать комментарий Решение

Задача 56953

Тема:

[

Подерный (педальный) треугольник

]

Сложность: 6
Классы: 9

Из точки P опущены перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на стороны треугольника ABC. Прямая l_a соединяет середины отрезков PA и B₁C₁. Аналогично определяются прямые l_b и l_c. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]