На столе лежат в ряд пять монет: средняя – орлом вверх, а остальные – решкой вверх. За одну операцию разрешается одновременно перевернуть ровно три монеты, лежащие рядом. Можно ли, выполнив такую операцию несколько раз, добиться того, чтобы все пять монет лежали орлом вверх?

   Решение

Даны 1000 линейных функций:  f_k(x) = p_kx + q_k  (k = 1, 2, ..., 1000).  Нужно найти значение их композиции  f(x) = f₁(f₂(f₃(...f₁₀₀₀(x)...)))  в точке x₀. Докажите, что это можно сделать не более чем за 30 стадий, если на каждой стадии можно параллельно выполнять любое число арифметических операций над парами чисел, полученных на предыдущих стадиях, а на первой стадии используются числа  p₁, p₂, ..., p₁₀₀₀,  q₁, q₂, ..., q₁₀₀₀,  x₀.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна стороне параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

Точки K и M — середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD, точки L и N расположены на сторонах BC и AD так, что KLMN — прямоугольник. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD вдвое больше площади прямоугольника KLMN.

Прислать комментарий

Решение

Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей равны, то равны и площади всех четырех частей.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]