Этапы:
-
Региональный этап
(23 задачи)
Заключительный этап
(22 задачи)
Фильтр
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел, записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.
Решение
Убрать все задачи
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел, записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.
Решение
Задачи
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]
Внутри выпуклого стоугольника выбрано k точек, 2
k 50 . Докажите, что можно отметить 2k
вершин стоугольника так, чтобы все выбранные точки оказались внутри 2k -угольника с отмеченными
вершинами.
Две окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F. Их общая касательная касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB, касается окружности S2 в точке C и пересекает окружность S1 в точках D и E. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников ABC и BDE, проходит через точку F.
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две
фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать
параллельно линиям сетки на целое число клеток.
Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел,
записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй
фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]
Задача 109552 (#94.5.11.2) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 109553 (#94.5.11.3) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 109554 (#94.5.11.4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109555 (#94.5.11.5) |
|
|
Дана последовательность натуральных чисел a1, a2, ..., an, в которой a1 не делится на 5 и для всякого n an+1 = an + bn, где bn – последняя цифра числа an. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
|
|
|
Решение |
Задача 109562 (#94.5.11.6) |
|
|
Функции f(x) и g(x) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через m число пар (x, y), для которых
f(x) = g(y), через n – число пар, для которых f(x) = f(y), а через k – число пар, для которых g(x) = g(y). Докажите, что 2m ≤ n + k.
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]
