Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны многоугольник, прямая l и точка P на прямой l в общем положении (то есть все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают l в различных точках, отличных от P). Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из неё стороны многоугольника, пересекают l по разные стороны от точки P. Докажите, что точка P лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от l отмечено нечётное число вершин.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109641  (#97.5.11.5)

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида  x² + px + q,  где p, q – целые,  1 ≤ p ≤ 1997,  1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109642  (#97.5.11.6)

Темы:   [ Внутренность и внешность. Лемма Жордана ] [ Произвольные многоугольники ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Даны многоугольник, прямая l и точка P на прямой l в общем положении (то есть все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают l в различных точках, отличных от P). Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из неё стороны многоугольника, пересекают l по разные стороны от точки P. Докажите, что точка P лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от l отмечено нечётное число вершин.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109643  (#97.5.11.7)

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Развертка помогает решить задачу ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Правильный тетраэдр ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой – в точке пересечения высот, третьей – в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109644  (#97.5.11.8)

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Процессы и операции ] [ Шахматная раскраска ] [ Обход графов ] [ Четность и нечетность ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Ориентированные графы ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

В прямоугольную коробку с основанием m×n, где m и n – нечётные числа, уложены домино размера 2×1 так, что остался не покрыт только квадрат 1×1 (дырка) в углу коробки. Если доминошка прилегает к дырке короткой стороной, её разрешается сдвинуть вдоль себя на одну клетку, закрыв дырку (при этом открывается новая дырка). Докажите, что с помощью таких передвижений можно перегнать дырку в любой другой угол.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями