Версия для печати
Убрать все задачи

---

Проведем через основание биссектрисы угла A разностороннего треугольника ABC отличную от стороны BC касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью обозначим через K_a . Аналогично построим точки K_b и K_c . Докажите, что три прямые, соединяющие точки K_a , K_b и K_c с серединами сторон BC , CA и AB соответственно, имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.

   Решение

---

В магазине продают DVD-диски – по одному и упаковками двух видов (упаковки разных видов различаются по количеству и стоимости). Вася подсчитал, сколько требуется денег, чтобы купить N дисков (если выгоднее всего купить больше дисков, чем нужно – Вася так и делает):

Сколько дисков было в упаковках и по какой цене упаковки продавались?
Какое количество денег необходимо Васе, чтобы купить не менее 29 дисков?

   Решение

---

Докажите, что внутри остроугольного треугольника существует такая точка, что основания перпендикуляров, опущенных из неё на стороны, являются вершинами равностороннего треугольника.

   Решение

---

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника ABC параллельно стороне AC , пересекается с прямой A₀C₀ в точке P . Докажите, что прямая PB касается описанной окружности треугольника ABC .

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110219  (#06.4.9.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Простые числа и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Найдите какое-нибудь такое девятизначное число N, состоящее из различных цифр, что среди всех чисел, получающихся из N вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110214  (#06.4.9.2)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел 1, 2, 3, 4 так, что каждое число встречается хотя бы один раз. Назовём клетку правильной, если количество различных чисел, записанных в четыре соседние (по стороне) с ней клетки, равно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться правильными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110215  (#06.4.9.3)

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Известно, что     и  x₁ + x₂ + ... + x₆ = 0.  Докажите, что x₁x₂...x₆ ≤ ½.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110216  (#06.4.9.4)

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника ABC параллельно стороне AC , пересекается с прямой A₀C₀ в точке P . Докажите, что прямая PB касается описанной окружности треугольника ABC .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110223  (#06.4.9.5)

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

На доске записано произведение a₁a₂... a₁₀₀, где a₁, ..., a₁₀₀ – натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений чётные. Какое наибольшее количество чётных чисел среди a₁, a₂, ..., a₁₀₀ могло быть?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями