Фильтр
Выбрана 21 задача Убрать все задачи
Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между прямыми, содержащими высоты, проведённые из вершин двух других углов.
Основание правильной четырёхугольной пирамиды – квадрат
со стороной 8. Высота пирамиды равна 9. Через сторону основания
проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол,
равный arctg . Найдите площадь сечения пирамиды
этой плоскостью.
Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна a , а противоположные боковые грани пирамиды взаимно перпендикулярны. Найдите радиусы описанной и вписанной сфер.
На прямой выбрано 100 множеств A1, A2, .. , A100 , каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств A1, A2, .. , A100 является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).
В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Известно, что BL = AB. На продолжении BL за точку L выбрана точка K, причём ∠BAK + ∠BAL = 180°. Докажите, что BK = BC.
В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания
ABC равна 4, угол между плоскостью основания ABC и боковой гранью равен
. Точки K, M,
N – середины отрезков AB, DK, AC соответственно,
точка E лежит на отрезке CM и 5ME = CE. Через точку E
проходит плоскость П перпендикулярно отрезку CM. В каком отношении плоскость
П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние
от точки N до плоскости П.
На доске записано произведение a1a2... a100, где a1, ..., a100 – натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений чётные. Какое наибольшее количество чётных чисел среди a1, a2, ..., a100 могло быть?
В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 6, точки M и N – середины рёбер AB и B1C1 соответственно, а точка K расположена на ребре DC так, что
DK = 2KC. Найдите
а) расстояние от точки N до прямой AK;
б) расстояние между прямыми MN и AK;
в) расстояние от точки A1 до плоскости треугольника MNK.
В треугольнике ABC провели биссектрисы углов A и C. Точки P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AC.
Маша задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15.
Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.
Рациональные числа x, y и z таковы, что все числа x + y² + z², x² + y + z² и x² + y² + z целые. Докажите, что число 2x целое.
В пирамиде ABCD длина каждого из рёбер AB и CD равна 4, длина каждого из остальных рёбер равна 3. В эту пирамиду вписана сфера. Найдите объём пирамиды, вершинами которой являются точки касания сферы с гранями пирамиды ABCD .
Пусть вневписанные окружности треугольника, касающиеся сторон AC и BC , касаются прямой AB в точках P и Q соответственно. Докажите, что середина стороны AB совпадает с серединой отрезка PQ .
a и b – натуральные числа. Покажите, что если 4ab – 1 делит (4a² – 1)², то a = b.
Докажите, что для треугольника со сторонами a , b , c
и площадью S выполнено неравенство
Докажите, что если
для некоторых a , b , c , x , y , z , то x=y=z или a=b=c .
Даны правильная четырёхугольная пирамида SABCD и конус, центр
основания которого лежит на прямой SO ( SO – высота пирамиды). Точка
E – середина ребра SD , точка F лежит на ребре AD ,
причём AF=FD . Треугольник, являющийся одним из осевых
сечений конуса, расположен так, что две его вершины лежат на
прямой CD , а третья – на прямой EF .
Найдите объём конуса, если AB=4 , SO=3 .
На окружности взята точка A , на диаметре BC —
точки D и E , а на его продолжении за точку B —
точка F . Найдите BC , если BAD =
ACD ,
BAF =
CAE , BD=2 , BE=5 и BF=4 .
Сторона основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна
. Через основание
высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная медианам SM и BN граней SAB и
SBC соответственно. Найдите площадь сечения пирамиды
этой плоскостью, если расстояние от вершины пирамиды до этой плоскости равно
.
Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O . Окружность радиуса R с центром в точке O проходит через вершину B , касается стороны AC и пересекает сторону AB в точке K такой, что BK:AK=5:1 . Найдите длину стороны BC .
Найдите какое-нибудь такое девятизначное число N, состоящее из различных цифр, что среди всех чисел, получающихся из N вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]
Задача 110219 (#06.4.8.1) |
|
|
Найдите какое-нибудь такое девятизначное число N, состоящее из различных цифр, что среди всех чисел, получающихся из N вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого.
|
|
Решение |
Задача 110220 (#06.4.8.2) |
|
|
Двое играют в такую игру. В начале по кругу стоят числа 1, 2, 3, 4. Каждым своим ходом первый прибавляет к двум соседним числам по 1, а второй меняет любые два соседних числа местами. Первый выигрывает, если все числа станут равными. Может ли второй ему помешать?
|
|
Решение |
Задача 110221 (#06.4.8.3) |
|
|
В круговых автогонках участвовали четыре гонщика. Их машины стартовали одновременно из одной точки и двигались с постоянными скоростями. Известно, что после начала гонок для каждых трёх машин нашёлся момент, когда они встретились. Докажите, что после начала гонок найдётся момент, когда встретятся все четыре машины. (Гонки считаем бесконечно долгими по времени.)
|
|
|
Решение |
Задача 110222 (#06.4.8.4) |
|
|
Каждая деталь конструктора "Юный паяльщик" – это скобка в виде буквы П, состоящая из трёх единичных отрезков. Можно ли из деталей этого конструктора спаять полный проволочный каркас куба 2×2×2, разбитого на кубики 1×1×1? (Каркас состоит из 27 точек, соединённых единичными отрезками; любые две соседние точки должны быть соединены ровно одним проволочным отрезком.)
|
|
|
Решение |
Задача 110223 (#06.4.8.5) |
|
|
На доске записано произведение a1a2... a100, где a1, ..., a100 – натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений чётные. Какое наибольшее количество чётных чисел среди a1, a2, ..., a100 могло быть?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]
