Пусть $n$ – натуральное число. Назовём последовательность $a_1, a_2, ..., a_n$ интересной, если для каждого  $i$ = 1, 2, ..., $n$  верно одно из равенств  $a_i = i$  или  $a_i = i$ + 1.  Назовём интересную последовательность чётной, если сумма её членов чётна, и нечётной – иначе. Для каждой нечётной интересной последовательности нашли произведение её чисел и записали его на первый листок. Для каждой чётной – сделали то же самое и записали на второй листок. На каком листке сумма чисел больше и на сколько? (Дайте ответ в зависимости от $n$.)

   Решение

Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки B и C, пересекают касательную к ω, проведённую через точку A, в точках K и L соответственно. Прямая, проведённая через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведённой через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что  BP = CP.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки B и C, пересекают касательную к ω, проведённую через точку A, в точках K и L соответственно. Прямая, проведённая через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведённой через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что  BP = CP.

Прислать комментарий

Решение

Вася нарисовал на плоскости несколько окружностей и провёл всевозможные общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведённые прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася?

Прислать комментарий

Решение

Даны положительные числа b и c. Докажите неравенство  (b – c)²⁰¹¹(b + c)²⁰¹¹(c – b)²⁰¹¹ ≥ (b²⁰¹¹ – c²⁰¹¹)(b²⁰¹¹ + c²⁰¹¹)(c²⁰¹¹ – b²⁰¹¹).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]