Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что множеством центров окружностей, пересекающих обе эти окружности под прямым углом, является их радикальная ось, из которой (если данные окружности пересекаются) выброшена их общая хорда.

   Решение

---

Докажите, что корни уравнения
  а)  (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) = 0;
  б)  c(x – a)(x – b) + a(x – b)(x – c) + b(x – a)(x – c) = 0
всегда вещественные.

   Решение

---

Докажите, что при n ≠ 4 правильный n-угольник нельзя расположить так, чтобы его вершины оказались в узлах целочисленной решетки.

   Решение

---

Для некоторых 2011 натуральных чисел выписали на доску все их 2011·1005 попарных сумм.
Могло ли оказаться, что ровно треть выписанных сумм делится на 3, и ещё ровно треть из них дают остаток 1 при делении на 3?

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116559  (#10.5)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Найдите все такие числа a, что для любого натурального n число  an(n + 2)(n + 3)(n + 4)  будет целым.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116559  (#11.5)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Найдите все такие числа a, что для любого натурального n число  an(n + 2)(n + 3)(n + 4)  будет целым.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116634  (#9.5)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Для некоторых 2011 натуральных чисел выписали на доску все их 2011·1005 попарных сумм.
Могло ли оказаться, что ровно треть выписанных сумм делится на 3, и ещё ровно треть из них дают остаток 1 при делении на 3?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116642  (#10.5)

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Даны 10 попарно различных чисел. Для каждой пары данных чисел Вася записал у себя в тетради квадрат их разности, а Петя записал у себя в тетради модуль разности их квадратов. Могли ли в тетрадях у мальчиков получиться одинаковые наборы из 45 чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116650  (#11.5)

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Неравенства. Метод интервалов ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Даны два различных приведённых кубических многочлена F(x) и G(x). Выписали все корни уравнений  F(x) = 0,  G(x) = 0,  F(x) = G(x). Оказалось, что выписаны восемь различных чисел. Докажите, что наибольшее и наименьшее из них не могут одновременно являться корнями многочлена F(x).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями