Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Саша разбивает точки на пары, после чего соединяет точки в каждой из пар отрезком. Всегда ли он может это сделать так, чтобы каждые два отрезка пересекались?

   Решение

---

Положительные действительные числа    a₁, ..., a_n  и k таковы, что  a₁ + ... + a_n = 3k,     и    .
Докажите, что какие-то два из чисел  a₁, ..., a_n  отличаются больше чем на 1.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116764  (#10.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, касается стороны BC в точке D. Пусть точка I – центр окружности ω, а O – центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AID, пересекает вторично прямую AO в точке E. Докажите, что длина отрезка AE равна радиусу окружности ω.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116765  (#10.3)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Симметрические многочлены ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Каждые два из действительных чисел a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ отличаются не менее чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного k выполнены равенства     Докажите, что  k² ≥ ²⁵/₃.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116765  (#11.2)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Симметрические многочлены ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Каждые два из действительных чисел a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ отличаются не менее чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного k выполнены равенства     Докажите, что  k² ≥ ²⁵/₃.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116773  (#11.3)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Раскраски ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть l – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка I, параллельного l, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число C (зависящее только от прямой l) такое, что все полученные разности не превосходят C.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116758  (#9.4)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Симметрические многочлены ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Положительные действительные числа    a₁, ..., a_n  и k таковы, что  a₁ + ... + a_n = 3k,     и    .
Докажите, что какие-то два из чисел  a₁, ..., a_n  отличаются больше чем на 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями