Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан тетраэдр ABCD. Вписанная в него сфера σ касается грани ABC в точке T. Сфера σ' касается грани ABC в точке T' и продолжений граней ABD, BCD, CAD. Докажите, что прямые AT и AT' симметричны относительно биссектрисы угла BAC.

   Решение

---

Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
   рационально. Докажите, что для любого a из M число    рационально.

   Решение

---

Пусть α , β , γ , τ – такие положительные числа, что при всех x

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.
Докажите, что α=γ или α=τ .

   Решение

---

Докажите, что  11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹  делится на 133 при любом натуральном n.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60289  (#01.016)

Тема:   [ Рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Числа a₀, a₁,..., a_n,... определены следующим образом:

Найдите и докажите формулу для этих чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60290  (#01.017)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10

Докажите, что для любого натурального n  10ⁿ + 18n – 1  делится на 27.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30607  (#01.018)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что  11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹  делится на 133 при любом натуральном n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60292  (#01.019)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Докажите, что для любого натурального n  2⁵ⁿ⁺³ + 5ⁿ·3ⁿ⁺²  делится на 17.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31250  (#01.020)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Доказать, что  n³ + 5n  делится на 6 при любом целом n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями