Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ выбраны так, что треугольники BA₁C, CB₁A и AC₁B собственно подобны. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом 120^o при вершинах A₁, B₁ и C₁.

   Решение

Пусть P(xⁿ) делится на  x – 1.  Докажите, что P(xⁿ) делится на  xⁿ – 1.

   Решение

В таблицу n*n записаны n² чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма n чисел, расположенных по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.

   Решение

Три косца за три дня скосили траву с трёх гектаров. С какой площади скосят траву пять косцов за пять дней?

   Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 644]      

Занятия Вечерней Математической Школы проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы.
  а) Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не меньше трех таких школьников.
  б) Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?

Прислать комментарий

Решение

Известно, что среди членов правительства Лимонии (а всего в нем 20 членов) заведомо имеется хотя бы один честный, а также что из любых двух хотя бы один -- взяточник. Сколько в правительстве взяточников?

Прислать комментарий

Решение

В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Каждая команда играет с каждой из остальных по 2 матча.
  а) Сколько матчей за сезон должен сыграть "Уралан"?
  б) Сколько всего матчей играется за один сезон?

Прислать комментарий

Решение

Три косца за три дня скосили траву с трёх гектаров. С какой площади скосят траву пять косцов за пять дней?

Прислать комментарий

Решение

В поселке 20 жительниц. 1 марта одна из них узнала интересную новость и сообщила её всем своим подругам. 2 марта те сообщили новость всем своим подругам, и так далее. Может ли так случиться, что:
  а) 15 марта ещё не все жительницы будут знать новость, а 18 марта уже все?
  б) 25 марта ещё не все жительницы будут знать новость, а 28 марта уже все?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 644]