Каталог по источникам

Выбрано 13 задач

Профессии членов семьи. В семье Семеновых 5 человек: муж, жена, их сын, сестра мужа и отец жены. Все они работают. Один — инженер, другой — юрист, третий — слесарь, четвертый — экономист, пятый — учитель. Вот что еще известно о них. Юрист и учитель не кровные родственники. Слесарь — хороший спортсмен. Он пошел по стопам экономиста и играет в футбол за сборную завода. Инженер старше жены своего брата, но моложе, чем учитель. Экономист старше, чем слесарь. Назовите профессии каждого члена семьи Семеновых.

Решение

Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины высот — целые числа. Докажите, что треугольник правильный.

Решение

Что больше 200! или 100²⁰⁰?

Решение

Найти наибольшее значение, которое может принимать выражение aek – afh + bfg – bdk + cdh – ceg, если каждое из чисел a, b, c, d, e, f, g, h, k равно ±1.

Решение

Определим последовательности чисел (x_n) и (d_n) условиями x₁ = 1, x_n+1 = [ ], d_n = x_2n+1 – 2x_2n–1 (n ≥ 1).
Докажите, что число в двоичной системе счисления представляется в виде (d₁,d₂d₃...)₂.

Решение

Автор: Печковский А.Н.

На плоскости расположено N точек. Отметим середины всевозможных отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее число отмеченных точек может получиться?

Решение

Пусть z = e^2πi/n = cos ^2π/_n + i sin ^2π/_n. Для произвольного целого a вычислите суммы
а) 1 + z^a + z^2a + ... + z^(n–1)a;
б) 1 + 2z^a + 3z^2a + ... + nz^(n–1)a.

Решение

Две одинаковые шестерёнки имеют по 32 зубца. Их совместили и спилили одновременно 6 пар зубцов. Доказать, что одну шестерёнку можно повернуть относительно другой так, что в местах сломанных зубцов одной шестерёнки окажутся целые зубцы второй шестерёнки.

Решение

Поезд двигался в одном направлении 5,5 часов. Известно, что за каждый отрезок времени длительностью 1 час он проезжал ровно 100 км. Можно ли утверждать, что:
а) поезд ехал с постоянной скоростью?
б) поезд проехал 550 км?

Решение

Тройки чисел (x_n, y_n, z_n) (n $\geqslant$ 1) строятся по правилу: x₁ = 2, y₁ = 4, z₁ = 6/7,

x_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$ , y_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$ , z_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$ , (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (x_n, y_n, z_n), для которой x_n + y_n + z_n = 0?

Решение

Постройте треугольник по a, h_a и b/c.

Решение

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции растяжения (сжатия) и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.

Решение

В Заитильщине 57 деревень, между некоторыми из которых проложены дороги. Известно, что из каждой деревни можно попасть в любую другую, притом по единственному маршруту.
а) Докажите, что найдётся деревня, из которой выходит лишь одна дорога.
б) Сколько дорог в Заитильщине?

Решение

Задача 32877

Задача 32904

Задача 32947

Задача 32995

Задача 33081