Каталог по источникам

Выбрано 13 задач

Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами.
Докажите, что чем больше угол при вершине, тем меньше высота, опущенная на основание.

Решение

Угол треугольника равен сумме двух других его углов. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Решение

Пусть h — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что r + R $\leq$ h.

Решение

Докажите, что прямая, проходящая через точки a₁ и a₂, задаётся уравнением

z( $\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$ ) - $\displaystyle \bar{z}$ (a₁ - a₂) + (a₁ $\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$ a₂) = 0.

Решение

В треугольнике ABC ∠A = 45°, BH – высота, точка K лежит на стороне AC, причём BC = CK.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABK совпадает с центром вневписанной окружности треугольника BCH.

Решение

Автор: Фольклор

Два параллелограмма расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что диагональ одного параллелограмма проходит через точку пересечения диагоналей другого.

Решение

Доказать: сумма
а) любого количества чётных слагаемых чётна;
б) чётного количества нечётных слагаемых чётна;
в) нечётного количества нечётных слагаемых нечётна.

Решение

Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?

Решение

Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда

a'(b - c) + b'(c - a) + c'(a - b) = 0.

Решение

Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами.
Докажите, что чем больше основание, тем меньше проведённая к нему высота.

Решение

Докажите, что отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника с точкой, лежащей на основании, не больше боковой стороны треугольника.

Решение

Решить уравнение x⁸ + 4x⁴ + x² + 1 = 0.

Решение

В гости пришло 10 гостей и каждый оставил в коридоре пару калош. Все пары калош имеют разные размеры. Гости начали расходиться по одному, одевая любую пару калош, в которые они могли влезть (т.е. каждый гость мог надеть пару калош, не меньшую, чем его собственные). В какой-то момент обнаружилось, что ни один из оставшихся гостей не может найти себе пару калош, чтобы уйти. Какое максимальное число гостей могло остаться?

Решение

Задача 30427

Задача 35012

Задача 35245

Задача 35543

Задача 35583