Каталог по источникам

Выбрано 18 задач

Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите следующие формулы:

aⁿ⁺¹ – bⁿ⁺¹ = (a – b)(aⁿ + a^n–1b + ... + bⁿ);

a²ⁿ⁺¹ + b²ⁿ⁺¹ = (a + b)(a²ⁿ – a^2n–1b + a^2n–2b² – ... + b²ⁿ).

Решение

Натуральные числа x, y, z таковы, что x² + y² = z². Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

Решение

Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.

Решение

Из пункта A в пункт B выехал велосипедист. Одновременно из пункта B в пункт A навстречу велосипедисту вышел пешеход. После их встречи велосипедист повернул обратно, а пешеход продолжил свой путь. Известно, что велосипедист вернулся в пункт A на 30 минут раньше пешехода, при этом его скорость была в 5 раз больше скорости пешехода. Сколько времени затратил пешеход на путь из A в B?

Решение

Стороны BA, AC и CB равностороннего треугольника продолжены соответственно за точки A, C и B, на продолжениях отложены равные отрезки AD, CE и BF. Докажите, что треугольник DEF – равносторонний.

Решение

a и b – натуральные числа, причём число a² + b² делится на 21. Докажите, что оно делится и на 441.

Решение

Прямая, проходящая через центры двух окружностей называется их линией центров.
Докажите, что общие внешние (внутренние) касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров этих окружностей.

Решение

Сколько существует пар натуральных чисел, у которых наименьшее общее кратное (НОК) равно 2000?

Решение

Окружность радиуса R, построенная на большем основании AD трапеции ABCD как на диаметре, касается меньшего основания BC в точке C, а боковой стороны AB — в точке A. Найдите диагонали трапеции.

Решение

В забеге шести спортсменов Андрей отстал от Бориса и между ними финишировали два спортсмена. Виктор финишировал после Дмитрия, но ранее Геннадия. Дмитрий опередил Бориса, но все же пришел после Евгения. Какое место занял каждый спортсмен?

Решение

a, b, c – целые числа, причём a + b + c делится на 6. Докажите, что a³ + b³ + c³ тоже делится на 6.

Решение

Автор: Бакаев Е.В.

В клетчатом квадрате со стороной 2018 часть клеток покрашены в белый цвет, остальные — в чёрный. Известно, что из этого квадрата можно вырезать квадрат $10\times 10$, все клетки которого белые, и квадрат $10\times 10$, все клетки которого чёрные. При каком наименьшем $d$ можно гарантировать, что из него можно вырезать квадрат $10\times 10$, в котором количество чёрных и белых клеток отличается не больше чем на $d$?

Решение

Жук ползёт по рёбрам куба. Сможет ли он последовательно обойти все рёбра, проходя по каждому ребру ровно один раз?

Решение

Автор: Бакаев Е.В.

Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, $AH$ — его высота. Точка $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину отрезка $AB$.

Решение

Окружность, вписанная в треугольник ABC касается его сторон AB и AC соответственно в точках M и N. Докажите, что BN > MN.

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.

Решение

Верно ли следующее утверждение: "Если четырёхугольник имеет ось симметрии, то это либо равнобедренная трапеция, либо прямоугольник, либо ромб"?

Решение

Каково минимальное целое число вида 111...11, делящееся на 333...33 (100 троек)?

Решение

Задача 35321

Задача 35324

Задача 35325

Задача 35354

Задача 35358