Версия для печати
Убрать все задачи
Волейбольная сетка имеет вид прямоугольника размером 50×600 клеток.
Какое наибольшее число верёвочек можно перерезать так, чтобы сетка не распалась на куски?
Решение
Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС. Обозначим через А1, В1 и С1 точки пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно со сторонами ВС, СА и АВ. Упорядочим площади треугольников АВ1С1, А1ВС1, А1В1С, обозначив меньшую через S1, среднюю – S2, а большую – S3. Докажите, что 
где S – площадь треугольника А1В1С1.
Решение
Выбрать 100 чисел, удовлетворяющих условиям x1 = 1, 0 ≤ x1 ≤ 2x1, 0 ≤ x3 ≤ 2x2, ..., 0 ≤ x99 ≤ 2x98, 0 ≤ x100 ≤ 2x99, так, чтобы выражение
x1 – x2 + x3 – x4 + ... + x99 – x100 было максимально.
Решение
Докажите, что если для чисел
a,
b и
c выполняются неравенства
|
a -
b|
|
c|,
|
b -
c|
|
a|,
|
c -
a|
|
b|, то одно из
этих чисел равно сумме двух других.
Решение
Найдите наименьшее натуральное число $N>9$, которое не делится на 7, но если вместо любой его цифры поставить семерку, то получится число, которое делится на 7.
Решение
В каждой клетке таблицы, состоящей из 10 столбцов и n строк, записана цифра. Известно, что для каждой строки A и любых двух столбцов найдётся строка, отличающаяся от A ровно в этих двух столбцах. Докажите, что n ≥ 512.
Решение
Известно, что выражение 14x + 13y делится на 11 при некоторых целых x и y. Докажите, что 19x + 9y также делится на 11 при таких x и y.
Решение
Фильтр
