Каталог по источникам

Выбрано 11 задач

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O; P и Q — произвольные точки. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{S_{AOP}}{S_{BOQ}}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{ACP}}{S_{BDQ}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}}$ .

Решение

Даны прямая l, окружность и точки M, N, лежащие на окружности и не лежащие на прямой l. Рассмотрим отображение P прямой l на себя, являющееся композицией проектирования прямой l на данную окружность из точки M и проектирования окружности на прямую l из точки N. (Если точка X лежит на прямой l, то P(X) есть пересечение прямой NY с прямой l, где Y — отличная от M точка пересечения прямой MX с данной окружностью.) Докажите, что преобразование P проективно.

Решение

Автор: Нилов Ф.

Окружности $\omega_1$, $\omega_2$ с центрами $O_1$, $O_2$ соответственно лежат одна вне другой. На этих окружностях взяты точки $C_1$, $C_2$, лежащие по одну сторону от прямой $O_1O_2$. Луч $O_1C_1$ пересекает $\omega_2$ в точках $A_2$, $B_2$, а луч $O_2C_2$ пересекает $\omega_1$ в точках $A_1$, $B_1$. Докажите, что $\angle A_1O_1B_1=\angle A_2B_2C_2$ тогда и только тогда, когда $C_1C_2\parallel O_1O_2$.

Решение

Автор: Виленкин А.Н.

Внутри квадрата A₁A₂A₃A₄ взята точка P. Из вершины A₁ опущен перпендикуляр на A₂P, из A₂ — перпендикуляр на A₃P, из A₃ — на A₄P, из A₄ — на A₁P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекается в одной точке.

Решение

Докажите, что преобразование P числовой прямой является проективным тогда и только тогда, когда оно представляется в виде

P(x) = $\displaystyle {\frac{ax+b}{cx+d}}$ ,

где a, b, c, d — такие числа, что ad - bc $\ne$ 0. (Такие отображения называют дробно-линейными.)

Решение

Укажите все пары (x; y), для которых выполняется равенство (x⁴ + 1)(y⁴ + 1) = 4x²y².

Решение

С помощью одного циркуля
а) постройте точки пересечения данной окружности S и прямой, проходящей через данные точки A и B;
б) постройте точку пересечения прямых A₁B₁ и A₂B₂, где A₁, B₁, A₂ и B₂ – данные точки.

Решение

В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, записанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?

Решение

На сторонах треугольника ABC построены правильные треугольники A'BC и B'AC внешним образом, C'AB — внутренним, M — центр треугольника C'AB. Докажите, что A'B'M — равнобедренный треугольник, причем $\angle$ A'MB' = 120^o.

Решение

Автор: Кухарчук И.

В треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, $D$ – произвольная точка на стороне $BC$, серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пресекает прямые $BI$ и $CI$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников $EIF$.

Решение

Через точку O, лежащую внутри треугольника ABC, проведены отрезки, параллельные сторонам. Отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ разбивают треугольник ABC на четыре треугольника и три четырехугольника (рис.). Докажите, что сумма площадей треугольников, прилегающих к вершинам A, B и C, равна площади четвертого треугольника.

Решение

Задача 56781

Задача 56782

Задача 56783

Задача 56784

Задача 56785