Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 5. Треугольники
>>
параграф 8. Теорема Чевы
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
В четырёхугольнике ABCD AB = ВС = m, ∠АВС = ∠АDС = 120°. Найдите BD.
Даны окружность S, точка A на ней и прямая l.
Постройте окружность, касающуюся данной окружности в точке A и данной
прямой.
Пусть S — окружность Аполлония для точек A и B,
причем точка A лежит вне окружности S. Из точки A проведены
касательные AP и AQ к окружности S. Докажите,
что B — середина отрезка PQ.
Пусть R1, R2 и R3 – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 ≤ 1/r, где r – радиус вписанной окружности этого треугольника.
Постройте окружность, равноудалённую от четырёх данных точек.
Через точки A и D, лежащие на окружности,
проведены касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге AD
взяты точки B и C. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, AB и CD — в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через
точку S.
На стороне BC треугольника ABC взяты точки K1 и K2. Докажите, что
общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников ABK1 и
ACK2 общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников ABK2
и ACK1 пересекаются в одной точке.
В некотором царстве, территория которого имеет форму квадрата со стороной 2 км, царь решает созвать всех жителей к 7 ч вечера к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень посылает с поручением гонца, который может передать любое указание любому жителю, который в свою очередь может передать любое указание любому другому жителю и т.д. Каждый житель до поступления указания находится в известном месте (у себя дома) и может передвигаться со скоростью 3 км/ч в любом направлении (по прямой). Доказать, что царь может организовать оповещение так, чтобы все жители успели прийти к началу бала.
Найти все натуральные числа x, обладающие следующим свойством: из каждой цифры числа x можно вычесть одну и ту же цифру a ≠ 0 (все цифры его не меньше a) и при этом получится (x − a)².
Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A1,
B1 и C1. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX
пересекает дугу B1C1 вписанной окружности в точке A2; точки B2 и
C2 определяются аналогично. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и
C1C2 пересекаются в одной точке.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]
Задача 56929 |
|
|
Через точки A и D, лежащие на окружности,
проведены касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге AD
взяты точки B и C. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, AB и CD — в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через
точку S.
|
|
Решение |
Задача 56930 |
|
|
Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A1,
B1 и C1. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX
пересекает дугу B1C1 вписанной окружности в точке A2; точки B2 и
C2 определяются аналогично. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и
C1C2 пересекаются в одной точке.
|
|
|
Решение |
Задача 56931 |
|
|
Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX
пересекает описанную окружность в точке A1. В сегмент,
отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги
BC в точке A1, а стороны BC — в точке A2. Точки
B2 и C2 определяются аналогично. Докажите, что прямые
AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.
|
|
Решение |
Задача 56932 |
|
|
а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что
б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что
|
|
|
Решение |
Задача 56933 |
|
|
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB1
и CC1. Биссектрисы AA1 и CC1 пересекают отрезки C1B1
и B1A1 в точках M и N. Докажите, что
MBB1 =
NBB1.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]
