Решить в целых числах уравнение  x² = 14 + y².

   Решение

а) Сколькими способами можно разбить 15 человек на три команды по пять человек в каждой?
б) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек две команды по пять человек в каждой?

   Решение

Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?

   Решение

Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C₁. Точки A₁, B₁ определены аналогично. Докажите, что
  а) прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке;
  б) треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

   Решение

Пусть p и q – различные простые числа. Докажите, что
  а)  p^q + q^p ≡ p + q (mod pq);

  б)   – чётное число, если  p, q ≠ 2.

   Решение

Пусть P(xⁿ) делится на  x – 1.  Докажите, что P(xⁿ) делится на  xⁿ – 1.

   Решение

Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, делящееся на (в записи 100 троек).

   Решение

Решить в целых числах уравнение  x² + y² = 4z – 1.

   Решение

а) Дано шестизначное число  abcdef,  причём  abc + def  делится на 37. Докажите, что и само число делится на 37.
б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 37.

   Решение

Даны точки A, B. Найдите геометрическое место таких точек C, что C, середины отрезков AC, BC и точка пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной окружности.

   Решение

С помощью двусторонней линейки постройте центр данной окружности, диаметр которой больше ширины линейки.

   Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 101]      

Даны диаметр AB окружности и точка C на нем. Постройте на этой окружности точки X и Y, симметричные относительно прямой AB, так, чтобы прямые AX и YC были перпендикулярными.

Прислать комментарий

Решение

Дан угол, равный 19°. Разделите его на 19 равных частей с помощью циркуля и линейки.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что угол величиной n^o, где n — целое число, не делящееся на 3, можно разделить на n равных частей с помощью циркуля и линейки.

Прислать комментарий

Решение

На клочке бумаги нарисованы две прямые, образующие угол, вершина которого лежит вне этого клочка. С помощью циркуля и линейки проведите ту часть биссектрисы угла, которая лежит на клочке бумаги.

Прислать комментарий

Решение

С помощью двусторонней линейки постройте центр данной окружности, диаметр которой больше ширины линейки.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 101]