Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.

   Решение

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их суммой ab + a + b. Какое число может получиться после 19 таких операций?

   Решение

Правильный 2n-угольник M₁ со стороной a лежит внутри правильного 2n-угольника M₂ со стороной 2a. Докажите, что многоугольник M₁ содержит центр многоугольника M₂.

   Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 14]      

Правильный 2n-угольник M₁ со стороной a лежит внутри правильного 2n-угольника M₂ со стороной 2a. Докажите, что многоугольник M₁ содержит центр многоугольника M₂.

Прислать комментарий

Решение

Внутри правильного многоугольника  A₁...A_n взята точка O. Докажите, что по крайней мере один из углов A_iOA_j удовлетворяет неравенствам  (1 - 1/n) A_iOA_j .

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при n 7 внутри выпуклого n-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

Прислать комментарий

Решение

а) Выпуклые многоугольники  A₁...A_n и  B₁...B_n таковы, что все их соответственные стороны, кроме A₁A_n и B₁B_n, равны и  A₂ B₂,...,A_{n - 1} B_{n - 1}, причем хотя бы одно из неравенств строгое. Докажите, что  A₁A_n > B₁B_n.
б) Соответственные стороны неравных многоугольников  A₁...A_n и  B₁...B_n равны. Запишем возле каждой вершины многоугольника  A₁...A_n знак разности  A_i - B_i. Докажите, что при n 4 соседних вершин с разными знаками будет по крайней мере четыре пары. (Вершины с нулевой разностью выбрасываются из рассмотрения: две вершины, между которыми стоят только вершины с нулевой разностью, считаются соседними.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 14]