Можно ли расставить на листе клетчатой бумаги крестики и нолики так, чтобы ни на одной горизонтали, вертикали и диагонали нельзя было встретить три одинаковых знака подряд?

   Решение

На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.

   Решение

Из шахматной доски $8\times8$ вырезали 10 клеток. Известно, что среди вырезанных клеток есть как черные, так и белые. Какое наибольшее количество двухклеточных прямоугольников можно после этого гарантированно вырезать из этой доски?

   Решение

Ищутся такие натуральные числа, оканчивающиеся на 5, что в их десятичной записи цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают.
  а) Найдите четыре таких числа.
  б) Докажите, что таких чисел бесконечно много.

   Решение

На двух сторонах AB и BC правильного 2n-угольника взято по точке K и N, причём угол KEN, где E – вершина, противоположная B, равен ^180°/_2n. Докажите, что NE – биссектриса угла KNC.

   Решение

Найдите ГМТ X, из которых можно провести касательные к данной дуге AB окружности.

   Решение

Пусть O — центр правильного треугольника ABC. Найдите ГМТ M, удовлетворяющих следующему условию: любая прямая, проведенная через точку M, пересекает либо отрезок AB, либо отрезок CO.

   Решение

В маленьком зоопарке из клетки убежала обезьяна. Её ловят два сторожа. И сторожа, и обезьяна бегают только по дорожкам. Всего в зоопарке шесть прямолинейных дорожек: три длинные образуют правильный треугольник, три короткие соединяют середины его сторон. В каждый момент времени обезьяна и сторожа видят друг друга. Смогут ли сторожа поймать обезьяну, если обезьяна бегает в 3 раза быстрее сторожей? (Вначале оба сторожа находятся в одной вершине треугольника, а обезьяна в другой.)

   Решение

Через точку M пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что (1/) + (1/) + (1/) = 0 (отрезки MA₁, MB₁ и MC₁ считаются ориентированными).

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

Докажите, что точка X лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда = t + (1 - t) для некоторого t и любой точки O.

Прислать комментарий

Решение

Дано несколько точек и для некоторых пар (A, B) этих точек взяты векторы , причем в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна  .

Прислать комментарий

Решение

Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим началом O так, что величина + остается постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

Через точку M пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что (1/) + (1/) + (1/) = 0 (отрезки MA₁, MB₁ и MC₁ считаются ориентированными).

Прислать комментарий

Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Отрезки BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁, AA₁ и BB₁ пересекаются в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что если + + = , то AB₁ : B₁C = CA₁ : A₁B = BC₁ : C₁A.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]