ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1; прямые B1C1, BB1 и CC1 пересекают прямую AA1 в точках M, P и Q соответственно. Докажите, что:
а) A1M/MA = (A1P/PA) + (A1Q/QA);
б) если P = Q, то MC1 : MB1 = (BC1/AB) : (CB1/AC).

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      



Задача 57760  (#14.013)

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 5
Классы: 9

На окружности дано n точек. Через центр масс n - 2 точек проводится прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей две оставшиеся точки. Докажите, что все такие прямые пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57761  (#14.013.1)

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 6
Классы: 9

На прямых $BC$, $CA$, $AB$ взяты точки $A_1$ и $A_2$, $B_1$ и $B_2$, $C_1$ и $C_2$ так, что $A_1B_2\| AB$, $B_1C_2\| BC$, $C_1A_2\| CA$. Пусть $\ell_a$ — прямая, соединяющая точки пересечения прямых $BB_1$ и $CC_2$, $BB_2$ и $CC_1$; прямые $\ell_b$ и $\ell_c$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $\ell_a$, $\ell_b$ и $\ell_c$ пересекаются в одной точке (или параллельны).
Прислать комментарий     Решение


Задача 57762  (#14.014)

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 6
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причем отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке P. Пусть la, lb, lc — прямые, соединяющие середины отрезков BC и B1C1, CA и C1A1, AB и A1B1. Докажите, что прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке, причем эта точка лежит на отрезке PM, где M — центр масс треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57763  (#14.015)

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 6
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1; прямые B1C1, BB1 и CC1 пересекают прямую AA1 в точках M, P и Q соответственно. Докажите, что:
а) A1M/MA = (A1P/PA) + (A1Q/QA);
б) если P = Q, то MC1 : MB1 = (BC1/AB) : (CB1/AC).
Прислать комментарий     Решение


Задача 57764  (#14.016)

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 6
Классы: 9

На прямой AB взяты точки P и P1, а на прямой AC взяты точки Q и Q1. Прямая, соединяющая точку A с точкой пересечения прямых PQ и P1Q1, пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}}$ = $\displaystyle {\frac{(\overline{BP}/\overline{PA})-(\overline{BP_1}/
\overline{P_1A})}{(\overline{CQ}/\overline{QA})-(\overline{CQ_1}/\overline{Q_1A})}}$.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .