Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 50]

Задача 58135 (#22.012B2)

Тема:

[

Сумма Минковского

]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Пусть A и B — фиксированные точки, $\lambda$ и $\mu$ — фиксированные числа. Выберем произвольную точку X и зададим точку P равенством $\overrightarrow{XP}$ = $\lambda$ $\overrightarrow{XA}$ + $\mu$ $\overrightarrow{XB}$ . Докажите, что положение точки P не зависит от выбора точки X тогда и только тогда, когда $\lambda$ + $\mu$ = 1. Докажите также, что в этом случае точка P лежит на прямой AB.

Прислать комментарий Решение

Задача 58136 (#22.012B3)

Тема:

[

Сумма Минковского

]

Сложность: 5
Классы: 9

а) Докажите, что если M₁ и M₂ — выпуклые многоугольники, то $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ — выпуклый многоугольник, число сторон которого не превосходит суммы чисел сторон многоугольников M₁ и M₂.
б) Пусть P₁ и P₂ — периметры многоугольников M₁ и M₂. Докажите, что периметр многоугольника $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ равен $\lambda_{1}^{}$ P₁ + $\lambda_{2}^{}$ P₂.

Прислать комментарий Решение

Задача 58137 (#22.012B4)

Тема:

[

Сумма Минковского

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Пусть S₁ и S₂ — площади многоугольников M₁ и M₂. Докажите, что площадь S( $\lambda_{1}^{}$ , $\lambda_{2}^{}$ ) многоугольника $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ равна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$ S₁ + 2 $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ S₁₂ + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$ S₂,

где S₁₂ зависит только от M₁ и M₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58138 (#22.012B5)

Темы:	[	Сумма Минковского	]
Темы:	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Докажите, что S₁₂ $\ge$ $\sqrt{S_1S_2}$ , т.е. $\sqrt{S(\lambda_1,\lambda_2)}$ $\ge$ $\lambda_{1}^{}$ $\sqrt{S_1}$ + $\lambda_{2}^{}$ $\sqrt{S_2}$ (Брунн).

Прислать комментарий Решение

Задача 58139 (#22.012B6)

Темы:	[	Сумма Минковского	]
Темы:	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 7
Классы: 9,10

а) Пусть M — выпуклый многоугольник, площадь которого равна S, а периметр равен P; D — круг радиуса R. Докажите, что площадь фигуры $\lambda_{1}^{}$ M + $\lambda_{2}^{}$ D равна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$ S + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ PR + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$ $\displaystyle \pi$ R².

б) Докажите, что S $\le$ P²/4 $\pi$ .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 50]