Версия для печати
Убрать все задачи
Дано 100 положительных чисел, сумма которых равна S.
Известно, что каждое из чисел меньше, чем S/99.
Докажите, что сумма любых двух из этих чисел больше,
чем S/99.
Решение
Пусть стороны самопересекающихся
четырехугольников
KLMN и
K'L'M'N', вписанных в одну и ту же окружность,
пересекают хорду
AB этой окружности в точках
P,
Q,
R,
S и
P',
Q',
R',
S'
соответственно (сторона
KL — в точке
P,
LM — в точке
Q,
и т. д.). Докажите, что если три из точек
P,
Q,
R,
S совпадают с
соответственными тремя из точек
P',
Q',
R',
S', то и оставшиеся две точки тоже
совпадают. (Предполагается, что хорда
AB не проходит через вершины
четырехугольников.)
Решение
Сумма четырех единичных векторов равна нулю. Докажите, что их
можно разбить на две пары противоположных векторов.
Решение
Пусть x1, x2,..., xn – корни уравнения anxn + ... + a1x + a0 = 0. Какие корни будут у уравнений
а) a0xn + ... + an–1x + an = 0;
б) anx2n + ... + a1x² + a0 = 0?
Решение
Существуют ли такие три числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он имеет два положительных корня, а если в другом – два отрицательных?
Решение
Найдите все пары натуральных чисел (а, b), для которых выполняется равенство НОК(а, b) – НОД(а, b) = ab/5.
Решение
Целые числа x, y и z таковы, что (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z. Докажите, что число x + y + z делится на 27.
Решение
Разрежьте правильный шестиугольник на 5 частей и сложите из них
квадрат.
Решение
Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия
>>
параграф 1. Равносоставленные фигуры
