а) Пусть AA' и BB' — сопряженные диаметры эллипса с центром O. Проведем через точку B перпендикуляр к прямой OA и отложим на нем отрезки BP и BQ, равные OA. Докажите, что главные оси эллипса являются биссектрисами углов между прямыми OP и OQ.
б) На плоскости нарисована пара сопряженных диаметров эллипса. С помощью циркуля и линейки постройте его оси.

   Решение

Докажите, что доску размером 10×10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы T, состоящие из четырёх клеток.

   Решение

Две окружности, пересекающиеся в точке A, касаются окружности (или прямой) S₁ в точках B₁ и C₁, а окружности (или прямой) S₂ в точках B₂ и C₂ (причем касание в B₂ и C₂ такое же, как в B₁ и C₁). Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников AB₁C₁ и AB₂C₂, касаются друг друга.

   Решение

Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 1  м²?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

На окружности отметили 4n точек и окрасили их через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета разбили на пары, а точки каждой пары соединили отрезками того же цвета. Докажите, что если никакие три отрезка не пересекаются в одной точке, то найдется по крайней мере n точек пересечения красных отрезков с синими.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости расположено n5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.

Прислать комментарий

Решение

Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 1  м²?

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырехугольнике ABCD равны стороны AB и CD и углы A и C. Обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм?

Прислать комментарий

Решение

Список упорядоченных в порядке возрастания длин сторон и диагоналей одного выпуклого четырехугольника совпадает с таким же списком для другого четырехугольника. Обязательно ли эти четырехугольники равны?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]