Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В каждой клетке доски 5×5 клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

Вниз   Решение


Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, причем  OA $ \geq$ OB $ \geq$ OC. Докажите, что OA $ \geq$ 2r и  OB $ \geq$ r$ \sqrt{2}$.

ВверхВниз   Решение


На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка M, отличная от C. Докажите, что MA + MB > CA + CB.

ВверхВниз   Решение


а) Постройте с помощью одного циркуля отрезок, который в два раза длиннее данного отрезка.
б) Постройте с помощью одного циркуля отрезок, который в n раз длиннее данного отрезка.

ВверхВниз   Решение


Точка A расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиусом 1 см. Разрешается отразить точку симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг. Докажите, что: а) за 25 отражений точку A можно к загнатьк внутрь данного круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.

ВверхВниз   Решение


На окружности отметили 4n точек и окрасили их через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета разбили на пары, а точки каждой пары соединили отрезками того же цвета. Докажите, что если никакие три отрезка не пересекаются в одной точке, то найдется по крайней мере n точек пересечения красных отрезков с синими.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  ha $ \leq$ (a/2)ctg($ \alpha$/2).

ВверхВниз   Решение


Даны две окружности S1, S2 и прямая l. Проведите прямую l1, параллельную прямой l, так, чтобы:
а) расстояние между точками пересечения l1 с окружностями S1 и S2 имело заданную величину a;
б) S1 и S2 высекали на l1 равные хорды;
в) S1 и S2 высекали на l1 хорды, сумма (или разность) длин которых имела бы заданную величину a.

ВверхВниз   Решение


Дно прямоугольной коробки выложено плитками размером 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и потеряли одну плитку 2×2. Вместо нее достали плитку 1×4. Докажите, что выложить дно коробки плитками теперь не удастся.

ВверхВниз   Решение


Дана прямая MN и две точки A и B по одну сторону от нее. Постройте на прямой MN точку X так, что  ∠AXM = 2∠BXN.

ВверхВниз   Решение


Постройте треугольник ABC по: а) c, a - b (a > b) и углу C; б) c, a + b и углу C.

ВверхВниз   Решение


В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Может ли площадь треугольника, образованного точками пересечения этих отрезков, быть больше 0, 499SABC?

ВверхВниз   Решение


Выпуклый n-угольник разбит на треугольники непересекающимися диагоналями, причем в каждой его вершине сходится нечетное число треугольников. Докажите, что n делится на 3.

ВверхВниз   Решение


Пусть n$ \ge$3. Существуют ли n точек, не лежащих на одной прямой, попарные расстояния между которыми иррациональны, а площади всех треугольников с вершинами в них рациональны?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



Задача 58299  (#26.016)

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Пусть n$ \ge$3. Существуют ли n точек, не лежащих на одной прямой, попарные расстояния между которыми иррациональны, а площади всех треугольников с вершинами в них рациональны?
Прислать комментарий     Решение


Задача 58300  (#26.017)

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Существуют ли на плоскости три такие точки A, B и C, что для любой точки X длина хотя бы одного из отрезков XA, XB и XC иррациональна?
Прислать комментарий     Решение


Задача 58301  (#26.018)

Тема:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Может ли площадь треугольника, образованного точками пересечения этих отрезков, быть больше 0, 499SABC?
Прислать комментарий     Решение


Задача 58302  (#26.019)

Тема:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

На бесконечном листе клетчатой бумаги (размер клетки 1×1) укладываются кости домино размером 1×2 так, что они накрывают все клетки. Можно ли при этом добиться того, чтобы любая прямая, идущая по линиям сетки, разрезала лишь конечное число костей?
Прислать комментарий     Решение


Задача 58303  (#26.020)

Тема:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Может ли конечный набор точек содержать для каждой своей точки ровно 100 точек, удаленных от нее на расстояние 1?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .