На клетчатой бумаге выбраны три точки A, B, C, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник ABC остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.

   Решение

На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.

   Решение

Постройте образ точки A при инверсии относительно окружности S с центром O.

   Решение

Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN (рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от A, B, C, D, E, лежат на одной окружности.

   Решение

Докажите, что окружность при осевой симметрии переходит в окружность.

   Решение

Докажите, что площадь любого выпуклого четырехугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.

   Решение

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

   Решение

Решая задачу:   "Какое значение принимает выражение  x²⁰⁰⁰ + x¹⁹⁹⁹ + x¹⁹⁹⁸ + 1000x¹⁰⁰⁰ + 1000x⁹⁹⁹ + 1000x⁹⁹⁸ + 2000x³ + 2000x² + 2000x + 3000
(x – действительное число), если  x² + x + 1 = 0?",  Вася получил ответ 3000. Прав ли Вася?

   Решение

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины A с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину A.

   Решение

Докажите, что выпуклый пятиугольник ABCDE с равными сторонами, углы которого удовлетворяют неравенствам  A B C D E, является правильным.

   Решение

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами P, Q и R. На сторонах треугольника PQR внутренним образом построены квадраты. Докажите, что их центры являются серединами сторон треугольника ABC.

   Решение

Докажите, что две несовпадающие коники имеют не более четырех общих точек.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

Докажите, что для любой коники можно выбрать многочлены A(t), P(t) и Q(t) так, что при изменении t от - до + точки , заметают всю данную конику, кроме, быть может, одной точки.

Прислать комментарий

Решение

Постройте рациональную параметризацию окружности x² + y² = 1, проведя прямые через точку (1, 0).

Прислать комментарий

Решение

Пусть , — рациональная параметризация коники, построенная при решении задачи 31.071. Докажите, что степень каждого из многочленов A, P, Q не превосходит 2.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что две несовпадающие коники имеют не более четырех общих точек.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если бесконечное множество точек обладает тем свойством, что расстояние между любыми двумя точками является целым числом, то все эти точки лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]