Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 9 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки C1, A1 и B1 так, что  ∠(CC1, AB) = ∠(AA1, BC) = ∠(BB1, CA) = α.  Прямые AA1 и BB1, BB1 и CC1, CC1 и AA1 пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
  а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
  б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен  2 cos α.

Вниз   Решение


В треугольнике ABC (a>b>c) указаны инцентр I, а также точки K и N касания вписанной окружности со сторонами BC и AC соответственно. Проведя не более трёх линий одной линейкой, постройте отрезок длины ac.

ВверхВниз   Решение


Окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках A1 и A2B — точка окружности S, а K1 и K2 — вторые точки пересечения прямых A1B и A2B с окружностями S1 и S2. Докажите, что если прямая K1K2 касается окружности S1, то она касается и окружности S2.

ВверхВниз   Решение


На плоскости даны точки A(1;2) , B(2;1) , C(3;-3) , D(0;0) . Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD . В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ AC ?

ВверхВниз   Решение


Окружности радиусов ta, tb, tc касаются внутренним образом описанной окружности треугольника ABC в его вершинах A, B, C и касаются друг друга внешним образом. Докажите, что

ta = $\displaystyle {\frac{Rh_a}{a+h_a}}$,    tb = $\displaystyle {\frac{Rh_b}{b+h_b}}$,    tc = $\displaystyle {\frac{Rh_c}{c+h_c}}$.

ВверхВниз   Решение


Пусть O — центр описанной окружности (неправильного) треугольника ABCM — точка пересечения медиан. Докажите, что прямая OM перпендикулярна медиане CC1 тогда и только тогда, когда  a2 + b2 = 2c2.

ВверхВниз   Решение


Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.

ВверхВниз   Решение


Даны четыре окружности  S1, S2, S3 и S4, причем окружности Si и Si + 1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S5 = S1). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырехугольник.

ВверхВниз   Решение


Факториальная система счисления. Докажите, что каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде

n = a1 . 1! + a2 . 2! + a3 . 3! +...,

где 0 $ \leqslant$ a1 $ \leqslant$ 1, 0 $ \leqslant$ a2 $ \leqslant$ 2, 0 $ \leqslant$ a3 $ \leqslant$ 3...

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      



Задача 60286  (#01.013)

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Докажите тождество: $ {\dfrac{1^2}{1\cdot3}}$ + $ {\dfrac{2^2}{3\cdot5}}$ +...+ $ {\dfrac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}}$ = $ {\dfrac{n(n+1)}{2(2n+1)}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 102829  (#01.014)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Произведения и факториалы ]
Сложность: 3
Классы: 7,8

Найдите сумму   1·1! + 2·2! + 3·3! + … + n·n!.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60288  (#01.015)

Тема:   [ Системы счисления (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Факториальная система счисления. Докажите, что каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде

n = a1 . 1! + a2 . 2! + a3 . 3! +...,

где 0 $ \leqslant$ a1 $ \leqslant$ 1, 0 $ \leqslant$ a2 $ \leqslant$ 2, 0 $ \leqslant$ a3 $ \leqslant$ 3...

Прислать комментарий     Решение

Задача 60289  (#01.016)

Тема:   [ Рекуррентные соотношения ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Числа a0, a1,..., an,... определены следующим образом:

a0 = 2,    a1 = 3,        an + 1 = 3an - 2an - 1        (n $\displaystyle \geqslant$ 2).

Найдите и докажите формулу для этих чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60290  (#01.017)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10

Докажите, что для любого натурального n  10n + 18n – 1  делится на 27.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .