ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или
на их продолжениях) взяты точки C1, A1 и B1 так, что ∠(CC1, AB) = ∠(AA1, BC) = ∠(BB1, CA) = α. Прямые AA1 и BB1, BB1 и CC1, CC1 и AA1 пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что: В треугольнике ABC (a>b>c) указаны инцентр I, а также точки K и N касания вписанной окружности со сторонами BC и AC соответственно. Проведя не более трёх линий одной линейкой, постройте отрезок длины a−c. Окружность S касается окружностей S1 и S2 в
точках A1 и A2; B — точка окружности S, а K1
и K2 — вторые точки пересечения прямых A1B и A2B с
окружностями S1 и S2. Докажите, что если прямая K1K2
касается окружности S1, то она касается и окружности S2.
На плоскости даны точки A(1;2) , B(2;1) , C(3;-3) , D(0;0) . Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD . В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ AC ? Окружности радиусов ta, tb, tc касаются внутренним образом описанной окружности треугольника ABC в его вершинах A, B, C и касаются друг друга внешним образом. Докажите, что
ta =
Пусть O — центр описанной окружности
(неправильного) треугольника ABC, M — точка пересечения медиан.
Докажите, что прямая OM перпендикулярна медиане CC1 тогда и только
тогда, когда
a2 + b2 = 2c2.
Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер. Даны четыре окружности
S1, S2, S3 и S4, причем
окружности Si и Si + 1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4
(S5 = S1). Докажите, что точки касания образуют вписанный
четырехугольник.
Факториальная система счисления. Докажите, что каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде
n = a1 . 1! + a2 . 2! + a3 . 3! +...,
где
0 |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]
Докажите тождество:
Найдите сумму 1·1! + 2·2! + 3·3! + … + n·n!.
Факториальная система счисления. Докажите, что каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде
n = a1 . 1! + a2 . 2! + a3 . 3! +...,
где
0
Числа a0, a1,..., an,... определены следующим образом:
a0 = 2, a1 = 3, an + 1 = 3an - 2an - 1 (n Найдите и докажите формулу
для этих чисел.
Докажите, что для любого натурального n 10n + 18n – 1 делится на 27.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке