Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число  an + 1  простое, то a чётно и  n = 2k.
(Числа вида  fk = 22k + 1  называются числами Ферма.)

Вниз   Решение


Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках O1 и O2. Пусть a1 и a2 — внутренние касательные к этим окружностям, a3 и a4 — внешние касательные к ним. Пусть, далее, a5 и a6 — касательные к окружности с центром в O1, проведённые из точки O2, a7 и a8 — касательные к окружности с центром в точке O2, проведённые из точки O1. Обозначим через O точку пересечения a1 и a2. Доказать, что с центром в точке O можно провести две окружности так, чтобы первая касалась a3 и a4, вторая касалась a5, a6, a7, a8, причём радиус второй в два раза меньше радиуса первой.

ВверхВниз   Решение


К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.

ВверхВниз   Решение


Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно числа Евклида:
e1 = 2,  en = e1e2...en–1 + 1  (n ≥ 2).  Все ли числа en являются простыми?

ВверхВниз   Решение


Можно ли множество всех натуральных чисел, больших 1, разбить на два непустых подмножества так, чтобы для каждых двух чисел a и b из одного множества число  ab – 1  принадлежало другому?

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство  pn+1 < p1p2...pn  (pkk-е простое число).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 173]      



Задача 60473  (#03.021)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8

Верно ли, что многочлен  P(n) = n² + n + 41  при всех n принимает только простые значения?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60474  (#03.022)

Тема:   [ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Пусть  {pn} – последовательность простых чисел  (p1 = 2,  p2 = 3,  p3 = 5, ...).
  а) Докажите, что  pn > 2n  при  n ≥ 5.
  б) При каких n будет выполняться неравенство  pn > 3n?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60475  (#03.023)

Тема:   [ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите неравенство  pn+1 < p1p2...pn  (pkk-е простое число).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60476  (#03.024)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Верно ли, что все числа вида  p1p2...pn + 1 являются простыми? (pkk-е простое число.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 60477  (#03.025)

 [Числа Евклида]
Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно числа Евклида:
e1 = 2,  en = e1e2...en–1 + 1  (n ≥ 2).  Все ли числа en являются простыми?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 173]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .