ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
![]()
Параграфы:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи
В трапеции ABCD диагональ AC равна сумме оснований
AB и CD . Точка M – середина стороны BC . Точка
B' симметрична точке B относительно прямой AM .
Докажите, что
Внутри неравнобедренного треугольника ABC взята
такая точка O , что
Ханойская башня и двоичная
система счисления.
Рассмотрим два
процесса, каждый из которых состоит из 28 - 1 шагов. Первый —
это процесс решения головоломки ``Ханойская башня'' (смотри задачу
1.42) при
помощи оптимального алгоритма. Второй — это процесс прибавления
единицы, который начинается с 0 и заканчивается числом 28 - 1.
Опишите связь между этими двумя процессами.
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 4, точки E и F ─ середины рёбер AB и B₁C₁ соответственно, а точки P расположена на ребре CD так, что CD = 3PD. Найдите Пусть O — центр масс системы точек, суммарная
масса которой равна m. Докажите, что моменты инерции
этой системы относительно точки O и произвольной точки X
связаны соотношением
IX = IO + mXO2.
Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если σ(m) – m = n и σ(n) – n = m. Пусть (m, n) > 1. Что больше τ(mn) или τ(m)τ(n)? Исследуйте тот же вопрос для функции σ(n). |
Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 173]
Даны два натуральных числа m и n. Выписываются все различные
делители числа m – числа a, b, ..., k – и все различные делители числа n – числа s, t, ..., z. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что a + b + ... + k = s + t + ... + z и 1/a + 1/b + ... + 1/k = 1/s + 1/t + ... + 1/z.
Пусть (m, n) > 1. Что больше τ(mn) или τ(m)τ(n)? Исследуйте тот же вопрос для функции σ(n).
Число n называется совершенным, если σ(n) = 2n.
Докажите, что если n – чётное совершенное число, то оно имеет вид n = 2k–1(2k – 1), и p = 2k – 1 – простое число Мерсенна.
Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если σ(m) – m = n и σ(n) – n = m.
Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 173]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке