Версия для печати
Убрать все задачи

---

Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.

   Решение

---

Петя может располагать три отрезка в пространстве произвольным образом. После того как Петя расположит эти отрезки, Андрей пытается найти плоскость и спроектировать на нее отрезки так, чтобы проекции всех трех были равны. Всегда ли ему удастся это сделать, если:
а) три отрезка имеют равные длины?
б) длины двух отрезков равны между собой и не равны длине третьего?

   Решение

---

Числа a, b, c таковы, что  a²(b + c) = b²(a + c) = 2008  и  a ≠ b.  Найдите значение выражения  c²(a + b).

   Решение

---

Назовём усложнением числа приписывание к нему одной цифры в начало, в конец или между любыми двумя его цифрами. Существует ли натуральное число, из которого невозможно получить полный квадрат с помощью ста усложнений?

   Решение

---

Докажите, что при n 1 и m 0 выполняется равенство

Попробуйте доказать его двумя способами: при помощи метода математической индукции и при помощи интерпретации чисел Фибоначчи из задачи 3.109. Докажите также, что тождество Кассини (см. задачу 3.112) является частным случаем этого равенства.

   Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60564  (#03.112)  [Тождество Кассини]

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Тождество Кассини. Докажите равенство

Будет ли тождество Кассини справедливо для всех целых n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60565  (#03.113)

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Докажите следующие свойства чисел Фибоначчи:

а) F1 + F2 +...+ Fn = Fn + 2 - 1;	в) F2 + F4 +...+ F2n = F2n + 1 - 1;
б) F1 + F3 +...+ F2n - 1 = F2n;	г) F12 + F22 +...+ Fn2 = FnFn + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60566  (#03.114)

Тема:   [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Докажите, что при n 1 и m 0 выполняется равенство

Попробуйте доказать его двумя способами: при помощи метода математической индукции и при помощи интерпретации чисел Фибоначчи из задачи 3.109. Докажите также, что тождество Кассини (см. задачу 3.112) является частным случаем этого равенства.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60567  (#03.115)

Тема:   [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите равенства
а) F_{2n + 1} = F_n² + F_{n + 1}²;        
б) F_{n + 1}F_{n + 2} - F_nF_{n + 3} = (- 1)^{n + 1};
в) F_3n = F_n³ + F_{n + 1}³ - F_{n - 1}³.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60568  (#03.116)

Тема:   [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Вычислите F_{n + 2}⁴ - F_nF_{n + 1}F_{n + 3}F_{n + 4}.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями