Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
- параграф 1. Простые числа (30 задач)
- параграф 2. Алгоритм Евклида (45 задач)
- параграф 3. Мультипликативные функции (31 задача)
- параграф 4. О том, как размножаются кролики (35 задач)
- параграф 5. Цепные дроби (32 задачи)
Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
Все коэффициенты квадратного трёхчлена – нечётные целые числа. Докажите, что у него нет корней вида 1/n, где n – натуральное число.
Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение
где a1 , a2 , a50 , b1 , b2 , b50 – различные числа?
BK – биссектриса треугольника ABC. Известно, что ∠AKB : ∠CKB = 4 : 5. Найдите разность углов A и C треугольника ABC.
Через вершины B , C и D трапеции ABCD ( AD|| BC ) проведена окружность. Известно, что окружность касается прямой AB , а её центр лежит на диагонали BD . Найдите периметр трапеции ABCD , если BC=9 , AD=25 .
Команды провели турнир по футболу в один круг (каждая с каждой сыграла один раз, победа – 3 очка, ничья – 1, поражение – 0). Оказалось, что единоличный победитель набрал менее 50% от количества очков, возможного для одного участника. Какое наименьшее количество команд могло участвовать в турнире?
Прямая, проходящая через вершину A треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке M. При этом BM = AB, ∠BAM = 35°, ∠CAM = 15°.
Найдите углы треугольника ABC.
Пусть числа a и b определены равенством a/b = [a0; a1, a2, ..., an]. Докажите, что уравнение ax – by = 1 c неизвестными x и y имеет решением одну из пар (Qn–1, Pn–1) или (– Qn–1, – Pn–1), где Pn–1/Qn–1 – (n–1)-я подходящая дробь. От чего зависит, какая именно из пар является решением?
Задачи Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 173]
Задача 60599 (#03.147) |
|
|
Для каждого натурального n приведите пример прямоугольника, который разрезался бы ровно на n квадратов, среди которых должно быть не более двух одинаковых.
|
|
Решение |
Задача 60600 (#03.148)[Цепные дроби и электрические цепи] |
|
|
Для данного рационального числа a/b постройте электрическую цепь из единичных сопротивлений, общее сопротивление которой равнялось бы a/b. Как такую цепь можно получить при помощи разбиения прямоугольника a×b на квадраты из задачи 60598?
|
|
|
Решение |
Задача 60601 (#03.149) |
|
|
Пусть a0 – целое, a1, ..., an – натуральные числа. Определим две последовательности
P–1 = 1, P0 = a0, Pk = akPk–1 + Pk–2 (1 ≤ k ≤ n); Q–1 = 0, Q0 = 1, Qk = akQk–1 + Qk–2 (1 ≤ k ≤ n).
Дроби Pk/Qk называются подходящими дробями к числу [a0; a1, a2, ..., an].
Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
а) Pk/Qk = [a0; a1, a2,..., ak];
б) PkQk–1 – Pk–1Qk = (–1)k+1;
в) (Pk, Qk) = 1.
|
|
|
Решение |
Задача 60602 (#03.150) |
|
|
Докажите следующие свойства подходящих дробей:
а) PkQk–2 – Pk–2Qk = (–1)kak (k ≥ 2);
б) –
=
(k ≥ 1);
в) Q1 < Q2 < ... < Qn;
г) <
<
< ... ≤
≤ ... <
<
<
;
|
|
|
Решение |
Задача 60603 (#03.151) |
|
|
Пусть числа a и b определены равенством a/b = [a0; a1, a2, ..., an]. Докажите, что уравнение ax – by = 1 c неизвестными x и y имеет решением одну из пар (Qn–1, Pn–1) или (– Qn–1, – Pn–1), где Pn–1/Qn–1 – (n–1)-я подходящая дробь. От чего зависит, какая именно из пар является решением?
|
|
Решение |
Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 173]
